Tengo entendido que la función delta de Dirac no es estrictamente una función en el sentido convencional y es un "funcional o una distribución".
La parte que no puedo entender por qué la "función" Delta tiene sentido sólo cuando actúa sobre otra función y que también sólo dentro de una integral y cómo es un "funcional" o "distribución" diferente de una función.
Primero debe enfrentarse a la pregunta por qué debo pensar en el $\delta$ -funcionar como una función en absoluto? Si se trata de imaginarla como una función de valor real de entradas reales, que resulta ser $0$ casi en todas partes, entonces se ha empezado mal (pero muy común). Puede definir $\delta$ como un símbolo con ciertas propiedades relativas a la combinación con una función real y algunos otros símbolos (por ejemplo $\int$ ), y esto es realmente suficiente para la mayoría de los propósitos, así que ¿por qué insistir en tratar de meter un objeto tan interesante en una definición limitada de "función"?
Así que, en su lugar, vamos a adoptar un enfoque diferente. Dejemos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ sea una función genérica de los reales a los complejos. Consideremos el conjunto de todo 1 tales funciones, y llamarlo $L$ a falta de una letra mejor. $L$ es un conjunto como $\mathbb{R}$ y por lo tanto podemos definir mapas (léase: funciones) desde ella a $\mathbb{C}$ también. El $\delta$ -es una de esas bestias, definida por \begin{align} \delta : L & \to \mathbb{C} \\ f & \mapsto f(0). \end{align} Por lo tanto es una función, pero no de números reales. Es una función de funciones de reales, que a veces se llama funcional .
¿Y qué pasa con las integrales? Bueno, también se puede enfocar esto de una manera limitante. Una forma es observar que $$ \lim_{\sigma\to0} \int\limits_\mathbb{R} f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \mathrm{e}^{-x^2/2\sigma^2} \mathrm{d}x = f(0). $$ Intercambiar el límite y la integral 2 y se ve que hay una "función" -o más bien un límite de una secuencia de funciones de $L$ que a su vez no es miembro de $L$ - cuyos valores parecen estar dados por $$ \delta(x) = \lim_{\sigma\to0} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \mathrm{e}^{-x^2/2\sigma^2}. $$ Esto es lo que un distribución es, con una terminología que sugiere las distribuciones de probabilidad que uno integra tan a menudo (aunque podría estar equivocado en la etimología). Sin embargo, hay que tener en cuenta que no se nos permitía cambiar el límite y la integral mientras siguiéramos llamando a esa cosa de aspecto gaussiano miembro de $L$ . Al fin y al cabo, si se toma primero el límite puntual, se obtiene algo que desaparece en todas partes menos en un punto, y tal objeto provocará la Integral de Lebesgue que estábamos usando para desaparecer también.
En cualquier caso, la integral estaba ahí desde el principio. Puedes pensar en esto como una notación exagerada para lo que realmente queríamos decir: "Dar el valor que resulta cuando $\delta$ actúa sobre $f$ ." La notación integral tiene otra ventaja, sin embargo, y es en relación con espacios de productos internos . En secreto, construimos $L$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ . Entonces el conjunto de lineal mapas de $L$ a $\mathbb{C}$ formar su espacio dual $L^*$ . Para cada $g \in L$ existe el correspondiente $g^* \in L^*$ que puede representarse convenientemente en esta notación integral como el complejo conjugado de $g$ . 3 El producto interno de $f$ y $g$ es $$ \langle f | \underbrace{g}_{g\in L} \rangle = \int\limits_\mathbb{R} f(x) \underbrace{g^*}_{g,g^*\in L}(x) \mathrm{d}x, $$ y así poder identificar \begin{align} \underbrace{g^*}_{g^*\in L^*} : L & \to \mathbb{C} \\ f & \mapsto \int\limits_\mathbb{R} f\underbrace{g^*}_{g,g^*\in L}. \end{align}
Ahora, por cada $g \in L$ hay un miembro dual correspondiente que se puede escribir como el conjugado complejo de $g$ a efectos de dicha integración, pero lo contrario no es cierto. 4 $\delta$ es un ejemplo de miembro de $L^*$ que no tiene actual función en $L$ podemos conjugar e integrar complejos contra para replicar su comportamiento.
1 En la práctica, esto suele ser demasiado. Es mejor restringir la atención a, por ejemplo, todas las funciones cuadradas-integrables de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ .
2 Cuidado. Es algo muy peligroso.
3 Sí, estamos a punto de abusar a fondo de los dos significados de $*$ - estar atentos.
4 No será en general a menos que $L$ es de dimensión finita, pero en ese caso tienes deltas de Kronecker y sumas finitas en lugar de deltas e integrales de Dirac.
La razón por la que tratamos de dar sentido a la $\delta$ -función dentro de una integral es porque su característica definitoria está dada en términos de una integral. Es decir, la $\delta$ -es cero en cualquier lugar que no sea el origen, y
$$\int_{\mathbb{R}} \delta(x) dx = 1$$
Heurísticamente, el $\delta$ -concentra toda su masa en el origen. Por supuesto, ninguna función real $f(x)$ goza de esta propiedad, ya que si $f(x)$ fuera cero en cualquier lugar que no fuera el origen, tendría la integral $0$ aunque $f(0) = + \infty$ .
Dicho esto, hay situaciones, como en el estudio del electromagnetismo, en las que nos gustaría hablar de masa positiva existente en un punto. El lenguaje del cálculo integral es indispensable, pero no permite clásicamente tales construcciones. Así, el $\delta$ -La función surge como una forma de permitir que nuestra teoría de la integración dé sentido a estas masas puntuales.
Una forma de remediar el hecho de que el $\delta$ -la función no es una función es reinterpretarla como una distribución, como explicó Chris anteriormente. Otra opción es pensar en ella como una medir . Si no has estudiado la teoría de las medidas, evitaré los detalles técnicos, sólo mencionaré que una medida es una forma de asignar un tamaño a un conjunto. La integral anterior termina con $dx$ que corresponde a la medida que asigna a cada conjunto su tamaño "evidente". El tamaño de $[0,4]$ es $4$ el tamaño de un conjunto de puntos es $0$ y esto puede extenderse a la mayoría de los conjuntos "desordenados" de forma sensata. Cuando utilizamos la medida $dx$ En el caso de la integral, era imposible detectar masas puntuales, ya que a un punto se le asignaba un tamaño cero y, por lo tanto, era intrascendente con respecto a la integración.
Sin embargo, podemos definir una medida $\delta_0$ que asigna un tamaño de conjunto $1$ si contiene $0$ y le asigna un tamaño de $0$ de lo contrario. Si integramos utilizando esta medida, toda la masa se concentra en el origen, y efectivamente tenemos
$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\delta_0= f(0) = `` \int_{\mathbb{R}} f(x)\delta(x) dx"$$
Hay varias maneras de ver esto. Personalmente, creo que es más claro decir que el Dirac $\delta$ función es en realidad una función eso es lo que dice el nombre. Por desgracia, el Dirac $\delta$ no existe. Sin embargo, hay objetos estrechamente relacionados que sí existen y que nos permiten hacer la mayoría de las cosas que desearíamos hacer con el $\delta$ si realmente existiera. Comprender las dos frases anteriores es clave para entender lo que está pasando.
Porque el $\delta$ función no existe, muchas personas redefinir el término " $\delta$ función" para significar algo que sí existe, para poder seguir hablando "como si" el $\delta$ función existía, aunque no lo hace. Esto me parece algo revisionista, pero es el enfoque más común que he visto entre la gente que utiliza el $\delta$ función en su trabajo diario, así que hay que esperarlo cuando se mira la literatura.
La idea es que cualquier declaración que implique la $\delta$ es en realidad una abreviatura de una declaración diferente, o de una familia de declaraciones, cada una de las cuales sólo involucra objetos que existen realmente. Por ejemplo, la ecuación $$ \int f \delta\,dx = f(0) $$ puede considerarse como una abreviatura de $$ \lim_{n \to \infty} \int f\phi_n\,dx = f(0) $$ donde $(\phi_n)$ es una secuencia particular de funciones realmente existentes. Así, el $\delta$ se sustituye por la función $\delta$ distribución. La respuesta de Chris White tiene más detalles.
Por otro lado, $$ \int f \delta\,dx = f(0) $$ también puede verse como una abreviatura de $$ \int f\,d\delta = f(0) $$ donde el " $\delta$ "en el lado derecho no es el $\delta$ función, es la medida de Dirac. Esto lo explica con más detalle Isaac Solomon. De nuevo, " $\int f\delta\,dx$ " es una abreviatura puramente formal porque (en la jerga de la teoría de la medida) el $\delta$ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, por lo que no tiene derivada de Radon-Nikodym; si esta derivada existiera, sería la $\delta$ función.
Una razón para seguir escribiendo $$ \int f \delta\,dx = f(0) $$ es que no nos compromete con ninguna de estas dos interpretaciones; podemos pasar de una a otra cuando nos convenga. También es conveniente para plantear problemas computacionales, de la misma manera que algunas personas plantean integrales dibujando diagramas etiquetados con infinitesimales mientras que al mismo tiempo aceptan que los infinitesimales no existen.
Otro ejemplo de objeto matemático inexistente pero útil es el campo con un elemento . No hay ningún campo con un elemento, por lo que este objeto no existe, estrictamente hablando. Pero, sin embargo, ha sido útil como forma de pensar en los resultados que implican objetos que sí existen.
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