La forma cerrada para ${\large\int}_0^1\frac{\ln(1-x)\,\ln(1+x)\,\ln(1+2x)}{1+2x}dx$

Question

Aquí es otro integrante estoy tratando de evaluar: $$I=\int_0^1\frac{\ln(1-x)\,\ln(1+x)\,\ln(1+2x)}{1+2x}dx.\tag1$$ Una aproximación numérica es: $$I\aprox-0.19902842515384155925817158058508204141843184171999583129...\tag2$$ (haga clic aquí para ver más dígitos).

Lamentablemente, hasta ahora no he hecho ningún progreso en la búsqueda de una forma cerrada para él. Por favor podría sugerir alguna idea de cómo hacer eso?

Answer 1

El valor de $I$ es $\mathbb{Q}$-combinación lineal de los valores de las múltiples polylogarithm en argumentos racionales. Voy a explicar cómo calcular esto.

La expansión de cada logaritmo en el integrando de forma integral, multiplicar, y dividir en regiones, y haciendo la sustitución $x\leftrightarrow 1-x$, obtenemos que $I$ es un $\mathbb{Q}$-combinación lineal de las integrales iteradas de la forma $$ \int_{1\geq t_1\geq t_2\geq t_3\geq t_4\geq 0} \frac{dt_4}{f_4(t_4)}\frac{dt_3}{f_3(t_3)}\frac{dt_2}{f_2(t_2)}\frac{dt_1}{f_1(t_1)}, $$ donde cada $f_i(t)$ es $t$ o $1-wt$ $w\in\{1/2,2/3\}$.

Reclamo: cada una integral iterada de esta forma es un valor de los múltiples polylogarithm, definido por $$ Li_{s_1,\ldots,s_k}(z_1,\ldots,z_k):=\sum_{n_1>\ldots>n_k\geq 1}\frac{z_1^{n_1}\ldots z_k^{n_k}}{n_1^{s_1}\ldots n_k^{s_k}}. $$ Por $k=1$ esta es la ordinaria polylogarithm, y $Li_{s_1,\ldots,s_k}(1,\ldots,1)=\zeta(s_1,\ldots,s_k)$ es el múltiple zeta valor.

El reclamo no es demasiado difícil ver por inducción sobre el número de términos en la integral iterada: tenemos $$ \int_0^{z_1} \frac{Li_{s_1,\ldots,s_k}(t,z_2,\ldots,z_k)}{t}\,dt=Li_{s_1+1,\ldots,s_k}(z_1,z_2,\ldots,z_k), $$ $$ \int_0^{z_1} \frac{Li_{s_1,\ldots,s_k}(t,z_2,\ldots,z_k)}{1-wt}\,dt=\frac{1}{w}Li_{1,s_1,\ldots,s_k}(wz_1,1/w,z_2,z_3,\ldots,z_k). $$ (Espero que esto lo escribí todo correctamente)

Los valores de múltiples polylogarithms satisfacer muchas de las relaciones, por lo que es posible que la expresión de que uno se puede simplificar.

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Las integrales iteradas como esta se muestran en el cómputo de la acción de transporte paralelo en algebraica de vectores de paquetes con nilpotent conexión en abrir los subconjuntos de $\mathbb{P}^1$. No es tan difícil de escribir tal cosa en $\mathbb{P}^1\barra invertida\{1,-1,-1/2,\infty\}$ dar $I$ como una matriz de coeficiente de transporte a lo largo de $[0,1]$.

Hay una cosa que se llama el unipotentes grupo fundamental de una variedad, que tiene la estructura de un motivo. Sin entrar en qué es exactamente esto es, solo voy a decir que la observación sobre el transporte paralelo esencialmente asciende a $I$ de ser un período de $\pi_{1,\cdot}(\mathbb{P}^1\barra invertida\{1,-1,-1/2,\infty\})$. Uno no consigue un buen modelo de dólares X:=\mathbb{P}^1\barra invertida\{1,-1,-1/2,\infty\}$ más de $\mathbb{Z}$, por la quita de puntos chocan mod 2 mod y 3, pero no es un buen modelo de más de $\mathbb{Z}[1/6]$. Es conocido que el grupo fundamental de un racionales de la curva tiene la estructura de una mezcla de Tate motivo, por lo que $I$ es el período de una mezcla de Tate motivo más de $\mathbb{Z}[1/6]$. Yo no entiendo realmente la construcción de la mezcla de Tate motivos, así que voy a ver como una caja negra. Probablemente alguien que entiende mejor de lo que yo podía ver directamente que $I$ es el período de una mezcla de Tate motivo, sin pensar en $\pi_1$.

Para la comparación: si el único denominador que aparece en la integral iterada fueron de $t$ y $1-t$, entonces el valor de la integral es un múltiplo zeta valor. Estos números son los períodos de grupo fundamental de $\mathbb{P}^1\barra invertida\{0,1,\infty\}$, que es una mezcla de Tate motivo más de $\mathbb{Z}$. Es un teorema que el espacio de todos los períodos de la mezcla de Tate motivos de más de $\mathbb{Z}$ es $\mathbb{Q}[(2\pi i)^{-1}]$ útil de los múltiples valores zeta. Creo que en el caso de la $I$ la mezcla de Tate motivo necesitamos sólo está definida más de $\mathbb{Z}[1/6]$, por lo que $I$ no puede necesariamente ser escrito en términos de múltiples valores zeta.

Hay una hipótesis de que todos los períodos de la mezcla de Tate motivos sobre cualquier anillo de $\mathbb{Z}[1/N]$ son combinaciones lineales de los valores de múltiples polylogarithms.

Answer 2

$\def\Li{\,\mathrm{Li}}$he seguido la técnica sugerida por Julian Rosen en su respuesta, y descompuesto su integral (y su otras integral) como un lineal la combinación de varios polylogarithms: $$\estilo de texto -\frac12\log 2\log3 \Li_2({\frac23}) + \frac12\log3\Li_{2,1}({\frac23,\frac34}) + \frac12\log 2\Li_{2,1}({\frac23,1}) \\\estilo de texto - \frac12\Li_{2,1,1}({\frac23,\frac34,\frac43}) - \frac12\Li_{2,1,1}({\frac23,1,\frac34}) $$ Hay un de papel por Borwein, Bradley, Broadhurst, Lisonek, que explica lo que son pocas las familias de las identidades aplicar a varios polylogarithms, y menciona una conjetura que los mencionados no son todas las identidades que se aplican en todo.

Varios polylogarithms son generalizaciones de las funciones zeta (y polylogarithms, y múltiples funciones zeta) en que la importante la cosa es que no la profundidad de $k$ de $\mathrm{Li}_{s_1,\ldots,s_k}(z_1,\ldots,z_k)$, pero el peso $\sum_{i=1}^{k}s_i$. Mi Mathematica fue capaz, con una cierta cantidad de la mano que sostiene, a calcular directamente el (racional) son parte integrante de las representaciones que intervienen en varios polylogarithms de peso $1$, $2$ y $3$, pero no podía peso de la manija $4$. Su integral tiene tres registros, por lo que el peso de 4.

Parece múltiples polylogarithms de peso 4 con pequeños argumentos racionales son todavía algebraicamente relativa a la ordinaria polylogarithms. Por analogía con múltiples valores zeta, sospecho que el mismo no necesariamente será verdadera de mayor peso, al menos en general.

He hecho algunas estimaciones basadas en peso exacto-3 valores acerca de lo que los términos peso-4 valores podría conllevar, y se utiliza un entero relación algoritmo para intentar encontrar una expresión para su integral. Creo que este es uno, que coincide con la integral de a $3000 de$ dígitos, y cuando miré para un entero relación usé una tolerancia de sólo $10^{-200}$.

Aquí vamos: $$\estilo de texto\def\Li{\mathrm{Li}} -\frac{1}{2} \Li_2(\frac{1}{3}) \zeta (2)-\frac{1}{4}\Li_4(\frac{3}{4})-\frac{3}{2} \Li_4(\frac{2}{3})+\frac{1}{6}\Li_4(\frac{1}{2})+\Li_4(\frac{1}{3}) -\frac{1}{16}\Li_4(\frac{1}{4})-\frac{1}{2}\Li_2(\frac{1}{3}){}^2+2 \Li_3(\frac{2}{3}) \log3+3 \Li_3(\frac{1}{3}) \log3-\Li_3(\frac{1}{3}) \log2 +\Li_2(\frac{1}{3}) \log 2 \log3-\frac{13}{3} \zeta (3) \log3+\frac{19}{12} \zeta (3) \log 2+\frac{7}{6} \zeta (4)+\frac{9}{4} \zeta (2) \log^23 +\frac{5}{6} \zeta (2) \log^22-3 \zeta (2) \log 2 \log3-\frac{35}{48} \log^43-\frac{29}{144} \log^42+\frac{7}{4} \log 2 \log^33 +\frac{1}{3} \log^32 \log3-\frac{9}{8} \log^22 \log^23 $$

Aquí está el Mathematica expresión literal, para salvar a la gente a escribir:

(7*Pi^4)/540 + (5*Pi^2*Log[2]^2)/36 - (29*Log[2]^4)/144 - (Pi^2*Log[2]*Log[3])/2 +  (Log[2]^3*Log[3])/3 + (3*Pi^2*Log[3]^2)/8 - (9*Log[2]^2*Log[3]^2)/8 + (7*Log[2]*Log[3]^3)/4 -  (35*Log[3]^4)/48 - (Pi^2*PolyLog[2, 1/3])/12 + Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 1/3] - PolyLog[2, 1/3]^2/2 -  Log[2]*PolyLog[3, 1/3] + 3*Log[3]*PolyLog[3, 1/3] + 2*Log[3]*PolyLog[3, 2/3] - PolyLog[4, 1/4]/16 +  PolyLog[4, 1/3] + PolyLog[4, 1/2]/6 - (3*PolyLog[4, 2/3])/2 - PolyLog[4, 3/4]/4 +  (19*Log[2]*Zeta[3])/12 - (13*Log[3]*Zeta[3])/3

Edit. Aquí están las expresiones individuales múltiples polylogarithms arriba. Los dos primeros son rigurosos, siendo el resultado de Integrate aplicado a la integral de las representaciones:

MultiPolyLog[{2, 1}, {2/3, 3/4}] := -(1/4) \[Pi]^2 Log[2] - (8 Log[2]^3)/3 + 1/2 Log[2]^2 Log[3] + Log[2] Log[3]^2 - 2 Log[2] PolyLog[2, 1/4] + 3 Log[2] PolyLog[2, 2/3] - PolyLog[3, 1/4] - PolyLog[3, 1/3] + PolyLog[3, 2/3] + Zeta[3]/8
MultiPolyLog[{2, 1}, {2/3, 1}] := 1/6 (\[Pi]^2 Log[3/2] - 2 Log[3]^3 + Log[2]^2 Log[27/2] + 6 Log[3] PolyLog[2, -(1/2)]) + PolyLog[3, -(1/2)] + PolyLog[3, 2/3]

Estos dos, de peso 4, provienen de un número entero relación algoritmo:

{MultiPolyLog[{2, 1, 1}, {2/3, 1, 3/4}] -> (11*Pi^4)/240 - (11*Pi^2*Log[2]^2)/240 - Log[2]^4/60 - (Pi^2*Log[2]*Log[3])/10 - (Log[2]^3*Log[3])/48 + (41*Pi^2*Log[3]^2)/480 - (7*Log[2]^2*Log[3]^2)/160 + (Log[2]*Log[3]^3)/48 - (9*Log[3]^4)/160 + (13*Pi^2*Log[2]*Log[4])/240 - (Log[2]^3*Log[4])/32 - (29*Pi^2*Log[3]*Log[4])/480 - (19*Log[2]^2*Log[3]*Log[4])/480 + (7*Log[2]*Log[3]^2*Log[4])/120 + (Log[3]^3*Log[4])/24 - (3*Pi^2*Log[4]^2)/80 - (Log[2]^2*Log[4]^2)/16 + (Log[2]*Log[3]*Log[4]^2)/16 - (Log[3]^2*Log[4]^2)/32 + (7*Log[2]*Log[4]^3)/480 - (7*Log[3]*Log[4]^3)/480 + Log[4]^4/32 - (13*Pi^2*PolyLog[2, 1/4])/480 + (19*Log[2]^2*PolyLog[2, 1/4])/240 - (Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 1/4])/48 - (41*Log[3]^2*PolyLog[2, 1/4])/480 + (Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 1/4])/80 + (17*Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 1/4])/160 + (Log[4]^2*PolyLog[2, 1/4])/40 + (11*PolyLog[2, 1/4]^2)/96 - (29*Pi^2*PolyLog[2, 1/3])/480 - (Log[2]^2*PolyLog[2, 1/3])/20 + (19*Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 1/3])/480 + (11*Log[3]^2*PolyLog[2, 1/3])/160 + (11*Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 1/3])/240 - (Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 1/3])/15 - (5*Log[4]^2*PolyLog[2, 1/3])/96 - (7*PolyLog[2, 1/4]*PolyLog[2, 1/3])/160 + PolyLog[2, 1/3]^2/120 - (7*Pi^2*PolyLog[2, 2/3])/96 + (Log[2]^2*PolyLog[2, 2/3])/60 + (11*Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 2/3])/480 + (Log[3]^2*PolyLog[2, 2/3])/48 + (17*Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 2/3])/480 + (11*Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 2/3])/240 + (11*Log[4]^2*PolyLog[2, 2/3])/160 + (49*PolyLog[2, 1/4]*PolyLog[2, 2/3])/480 - (7*PolyLog[2, 1/3]*PolyLog[2, 2/3])/240 + PolyLog[2, 2/3]^2/12 - (11*Pi^2*PolyLog[2, 3/4])/120 + (Log[2]^2*PolyLog[2, 3/4])/30 - (Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 3/4])/240 + (Log[3]^2*PolyLog[2, 3/4])/6 + (Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 3/4])/15 - (5*Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 3/4])/32 - (Log[4]^2*PolyLog[2, 3/4])/160 - (89*PolyLog[2, 1/4]*PolyLog[2, 3/4])/480 - (49*PolyLog[2, 1/3]*PolyLog[2, 3/4])/480 - (17*PolyLog[2, 2/3]*PolyLog[2, 3/4])/80 + PolyLog[2, 3/4]^2/24 - (37*Log[2]*PolyLog[3, 1/4])/240 - (Log[3]*PolyLog[3, 1/4])/40 - (77*Log[4]*PolyLog[3, 1/4])/480 + (3*Log[2]*PolyLog[3, 1/3])/80 - (Log[3]*PolyLog[3, 1/3])/20 - (11*Log[4]*PolyLog[3, 1/3])/160 - (Log[2]*PolyLog[3, 2/3])/240 - (71*Log[4]*PolyLog[3, 2/3])/480 - (Log[2]*PolyLog[3, 3/4])/48 - (Log[3]*PolyLog[3, 3/4])/40 - (91*Log[4]*PolyLog[3, 3/4])/480 - (21*PolyLog[4, 1/4])/16 - (7*PolyLog[4, 1/3])/4 + (5*PolyLog[4, 1/2])/2 - PolyLog[4, 2/3]/2 - (11*PolyLog[4, 3/4])/8 - (Log[2]*Zeta[3])/15 + (19*Log[3]*Zeta[3])/240 - (13*Log[4]*Zeta[3])/96
,MultiPolyLog[{2, 1, 1}, {2/3, 3/4, 4/3}] -> (-139*Pi^4)/1440 + (149*Pi^2*Log[2]^2)/1440 + Log[2]^4/30 + (347*Pi^2*Log[2]*Log[3])/1440 + (19*Log[2]^3*Log[3])/480 - (313*Pi^2*Log[3]^2)/1440 + (13*Log[2]^2*Log[3]^2)/120 - (7*Log[2]*Log[3]^3)/90 + (8*Log[3]^4)/45 - (19*Pi^2*Log[2]*Log[4])/180 + (97*Log[2]^3*Log[4])/1440 + (241*Pi^2*Log[3]*Log[4])/1440 + (23*Log[2]^2*Log[3]*Log[4])/288 - (47*Log[2]*Log[3]^2*Log[4])/480 - (37*Log[3]^3*Log[4])/240 + (37*Pi^2*Log[4]^2)/360 + (13*Log[2]^2*Log[4]^2)/96 - (5*Log[2]*Log[3]*Log[4]^2)/32 + (17*Log[3]^2*Log[4]^2)/144 - (31*Log[2]*Log[4]^3)/720 + (Log[3]*Log[4]^3)/360 - (7*Log[4]^4)/80 + (29*Pi^2*PolyLog[2, 1/4])/720 - (77*Log[2]^2*PolyLog[2, 1/4])/480 + (Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 1/4])/8 + (35*Log[3]^2*PolyLog[2, 1/4])/288 - (Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 1/4])/180 - (23*Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 1/4])/360 - (17*Log[4]^2*PolyLog[2, 1/4])/1440 + (11*PolyLog[2, 1/4]^2)/288 + (13*Pi^2*PolyLog[2, 1/3])/80 + (133*Log[2]^2*PolyLog[2, 1/3])/1440 - (133*Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 1/3])/1440 - (47*Log[3]^2*PolyLog[2, 1/3])/240 - (31*Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 1/3])/240 + (31*Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 1/3])/240 + (41*Log[4]^2*PolyLog[2, 1/3])/720 + (5*PolyLog[2, 1/4]*PolyLog[2, 1/3])/96 + (23*PolyLog[2, 1/3]^2)/720 + (247*Pi^2*PolyLog[2, 2/3])/1440 - (19*Log[2]^2*PolyLog[2, 2/3])/480 + (Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 2/3])/288 - (23*Log[3]^2*PolyLog[2, 2/3])/240 - (113*Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 2/3])/1440 + (Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 2/3])/144 - (113*Log[4]^2*PolyLog[2, 2/3])/720 - (59*PolyLog[2, 1/4]*PolyLog[2, 2/3])/1440 + (17*PolyLog[2, 1/3]*PolyLog[2, 2/3])/360 - (11*PolyLog[2, 2/3]^2)/144 + (103*Pi^2*PolyLog[2, 3/4])/480 - (127*Log[2]^2*PolyLog[2, 3/4])/1440 - (Log[2]*Log[3]*PolyLog[2, 3/4])/36 - (619*Log[3]^2*PolyLog[2, 3/4])/1440 - (127*Log[2]*Log[4]*PolyLog[2, 3/4])/720 + (187*Log[3]*Log[4]*PolyLog[2, 3/4])/720 - (7*Log[4]^2*PolyLog[2, 3/4])/180 + (331*PolyLog[2, 1/4]*PolyLog[2, 3/4])/1440 + (223*PolyLog[2, 1/3]*PolyLog[2, 3/4])/720 + (281*PolyLog[2, 2/3]*PolyLog[2, 3/4])/720 + (37*PolyLog[2, 3/4]^2)/720 + (49*Log[2]*PolyLog[3, 1/4])/360 + (191*Log[3]*PolyLog[3, 1/4])/240 - (59*Log[4]*PolyLog[3, 1/4])/1440 - (91*Log[2]*PolyLog[3, 1/3])/720 - (33*Log[3]*PolyLog[3, 1/3])/20 + (91*Log[4]*PolyLog[3, 1/3])/1440 - (61*Log[2]*PolyLog[3, 2/3])/360 + (31*Log[3]*PolyLog[3, 2/3])/60 - (17*Log[4]*PolyLog[3, 2/3])/720 - (5*Log[2]*PolyLog[3, 3/4])/48 + (11*Log[3]*PolyLog[3, 3/4])/12 + (17*Log[4]*PolyLog[3, 3/4])/160 + (23*PolyLog[4, 1/4])/16 - PolyLog[4, 1/3]/4 - (17*PolyLog[4, 1/2])/6 + (7*PolyLog[4, 2/3])/2 + (15*PolyLog[4, 3/4])/8 + (19*Log[2]*Zeta[3])/1440 - (203*Log[3]*Zeta[3])/288 + (Log[4]*Zeta[3])/40
}