Sea $M$ ser un $R$ -módulo. Decimos que $M$ es reflexivo si el mapa natural $M\rightarrow M^{**}$ es un isomorfismo.
Me gustaría saber si existe un módulo isomorfo a su bidual pero no reflexivo, ¿conoces algún ejemplo?
Respuesta
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Lord_Luncher
Puntos
21
Sí, existen ejemplos de ello. En el caso de los grupos abelianos, por ejemplo, se puede tener un grupo A que no sea reflexivo, pero que sea isomorfo a su doble dual. El libro "Módulos casi libres" de Eklof y Mekler (North Holland) contiene gran parte de lo que se sabe.
Como ejemplo concreto, tomemos E como un subconjunto estacionario y costacionario de $\omega_1$ y que $X=\omega_1 + 1\backslash E$ dada la topología del subespacio (del espacio $\omega_1 +1$ con la topología de intervalo). A continuación, $C(X, Z)$ (funciones continuas a los enteros con la topología discreta) es un grupo de este tipo. De hecho para este grupo $C(X,Z)^{**} = \sigma[C(X,Z)] \oplus Z$ donde $\sigma$ es el mapa natural, de modo que $C(X,Z)$ no es reflexivo, sino $C(X,Z)\oplus Z \cong C(X,Z)$ porque por ejemplo $C(X,Z)$ tiene $Z^\omega$ como sumando.
