¿Qué es un ejemplo de una serie de poder trascendental?

Question

Sea$k$ un campo. ¿Qué es una serie de poder explícita$f \in k[[t]]$ que es trascendental sobre$k[t]$?

Estoy buscando un ejemplo elemental (por lo que debería haber una prueba de trascendencia que no use ninguna gran maquinaria).

Answer 1

Eisenstein demostró (de hecho, declaró) en 1852 que si$f=\sum a_n z^n$ es una serie de potencias algebraicas con coeficientes racionales, existen enteros positivos$A$ y$B$ tales que$A a_n B^n$ son enteros para todas $n$. En particular, como señala el propio Eisenstein, solo una cantidad finita de números primos aparecen en los denominadores de los coeficientes de$f$. Por ejemplo,$e^z$,$\log(1+z)$, etc., son trascendentales.

Answer 2

Qué tal si $\sum t^{n!}$? ¿No muestra un argumento de "mar de ceros" que no puede ser algebraico?

Answer 3

1. Para la característica 0, http://arxiv.org/abs/1003.2221
2. Para la característica p, http://arxiv.org/abs/0810.3709