Demostrar que $\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{4}+\frac 12 \cos^{-1}x^2$

Question

Que la expresión anterior sea igual a $\phi$ $$\frac{\tan \phi +1}{\tan \phi-1}=\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$$ $$\frac{1+\tan^2\phi +2\tan \phi}{1+\tan^2 \phi-2\tan \phi}=\frac{1+x^2}{1-x^2}$$

$$\frac{1+\tan^2\phi}{2\tan \phi }=\frac{1}{x^2}$$ $$\sin 2\phi=x^2$$ $$\phi=\frac{\pi}{4}-\frac 12 \cos^{-1}x^2$$

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Porque para $x\neq0$ y $-1\leq x\leq1$ es fácil de ver: $$0<\frac{\pi}{4}+\frac 12 \cos^{-1}x^2<\frac{\pi}{2}$$ y obtenemos: $$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac 12 \cos^{-1}x^2\right)=\frac{1+\tan\frac{1}{2}\arccos{x^2}}{1-\tan\frac{1}{2}\arccos{x^2}}=$$ $$=\frac{\cos\frac{1}{2}\arccos{x^2}+\sin\frac{1}{2}\arccos{x^2}}{\cos\frac{1}{2}\arccos{x^2}-\sin\frac{1}{2}\arccos{x^2}}=\frac{\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}+\sqrt{\frac{1-x^2}{2}}}{\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}-\sqrt{\frac{1-x^2}{2}}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}.$$

Su error en la última línea.

De hecho, desde $$\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}>1$$ y desde aquí $$\frac{\pi}{4}<\phi<\frac{\pi}{2},$$ obtenemos: $$2\phi=\pi-\arcsin{x^2}=\frac{\pi}{2}+\arccos{x^2}.$$

Answer 2

Una respuesta un poco tardía pero pensé que valía la pena mencionarla.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que podemos sustituir $y=x^2$ y considerar $0<y\leq 1$ . Además, el argumento de $\arctan$ puede simplificarse como sigue:

$$\frac{\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y}-\sqrt{1-y}}=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}$$

Ahora, el ajuste $y = \cos t$ para $t \in \left[0,\frac{\pi}2\right)$ , para mostrar es sólo

$$\arctan \frac{1+\sin t}{\cos t} = \frac{\pi}{4}+\frac t2$$

En este punto vienen a la mente las fórmulas de medio ángulo:

$$\frac{1+\sin t}{\cos t} = \frac{(\cos \frac t2 + \sin \frac t2)^2}{\cos^2 \frac t2 - \sin^2 \frac t2} = \frac{\cos \frac t2 + \sin \frac t2}{\cos \frac t2 - \sin \frac t2}$$ $$ = \frac{1+\tan \frac t2}{1-\tan \frac t2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac t2\right)$$ .

Hecho.

Answer 3

Su error

$\sin y=a\stackrel{\text{to}}{\longrightarrow}\sin^{-1}(\sin y)=\begin{cases}2n\pi+y&y\in\text{I, IV quadrant}\\(2n-1)\pi-y&y\in\text{II, III quadrant}\end{cases}=\sin^{-1}a$

Answer 4

Dominio de $\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}$ es $x \in (-1,1]$ No hay nada malo en ello.

Pero el rango del término anterior (argumento de $\arctan$ ) es $(1,\infty)$ por lo que esto significa, cuando se asume que sea $\phi$ se restringe al intervalo $\left[ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$

Esto crea un problema en la última línea, porque $\sin^{-1}(x^2)$ debe estar en su rango principal y $\frac{\pi}{2}\le 2\phi \le \pi$

Editar: para encontrar el dominio del argumento, la forma más fácil, dividir ambos lados por $\sqrt{1+x^2}$ y luego sustituir $x^2=\cos(2\theta)$ , $\theta \in \left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ , para conseguir

$$\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}}}$$

y luego utilizar la identidad, $\tan \theta=\sqrt{\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}}$ $$\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+ \theta\right)$$ Ahora, $\theta \in \left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ Así que.., $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) \in [1, \infty)$

Lo que irónicamente es tu pregunta...