¿Existe algún significado geométrico razonable del género L para variedades suaves? ¿O quizás más fácil, para superficies algebraicas complejas?
La pregunta surgió después de que un amigo me di cuenta de que no entendemos por qué uno esperaría tener una fórmula de este tipo para la firma en términos de clases de Pontrjagin (es decir, el teorema de la firma). Se agradecerá cualquier información sobre esto.
El propio Hirzebruch tiene un artículo muy agradable que explica (si recuerdo bien) cómo se le ocurrió el teorema de la firma y por qué las fórmulas surgen de una manera bastante razonable. Aquí está la referencia: MR0368023 (51 # 4265) Hirzebruch, F. El teorema de la firma: reminiscencias y recreación. Perspectivas en matemáticas (Proc. Sympos., Princeton Univ., Princeton, NJ, 1970), págs. 3-31. Ana. de Matemáticas. Studies, No. 70, Princeton Univ. Prensa, Princeton, Nueva Jersey 1971.
Sea$S$ una superficie compleja algebraica suave. Luego, existe la siguiente relación:$$p_1=c_1(S)^2-2c_2(S)=K_S^2-2\chi_{top}(S)=3L$$ where $ p_1$ is the first Pontryagin class and $ L $ el género L.
Por otro lado, la teoría del cobordismo dice$p_1[S]=3\tau$ donde$\tau$ es la firma de$S$.
Ahora (según la teoría de Hodge)
$\tau=4\chi(\mathcal{O_S})-\chi_{top}(S)$ por lo tanto, (emparejando con la clase fundamental) la relación entre$L$ y$Td$ parece
$$ K ^ 2 + \ chi_ {top} (S) = 3 \ tau + 3 \ chi_ {top} (S) = 12Td (S) $$
donde la segunda clase de Todd satisface$Td(S)=1/12 (K^2+\chi_{top}(S))$
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