¿Se deduce que $(n!)^n$ dividir $(n^2)!$

Question

Es bien sabido que $(n!)^2$ divide $(2n)!$ .

¿Se deduce que $(n!)^3$ divide $(3n)!$ y así sucesivamente hasta $(n!)^n$ dividiendo $(n^2)!$ ?

Si la respuesta es afirmativa o negativa, ¿podría darnos los detalles del argumento?

Como prueba rápida, probé $n=3$ y $n=4$ que funcionó.

Gracias,

-Larry

Answer 1

Sí, es cierto. El simple argumento: $\displaystyle \frac{(kn)!}{(n!)^{k}}$ para $1\leq k \leq n$ es igual coeficiente multinomial : $$\displaystyle {kn \choose n,n,\cdots,n}$$ .