Función suave no negativa como suma de cuadrados de funciones suaves

Question

Existe un famoso problema abierto, cuya solución se atribuye a Paul Cohen, pero no parece haber ningún documento publicado:

Existe $f\in C^\infty(\mathbb R,\mathbb R_+)$ tal que $f$ no es una suma finita de cuadrados de $C^\infty$ funciones.

Agradecería cualquier pista o referencia a esa pregunta concreta.

Answer 1

Parece ser un resultado de J-M Bony que toda función no negativa en $C^{2m}$ es una suma de cuadrados de dos $C^m$ lo que significa que cada $C^\infty$ es la suma de los cuadrados de dos $C^m$ funciones para cualquier $m$ (lo que, supongo, no significa que se pueda hacer con dos $C^\infty$ funciones - los contraejemplos se atribuyen a Paul Cohen y D.B.A. Epstein - véanse las referencias 1 y 4 del artículo citado): la referencia es:

Bony, Jean-Michel(F-POLY-CMT) Sommes de carrés de fonctions dérivables. (Francés. Inglés, resumen en francés) [Sumas de cuadrados de funciones derivables]. Bull. Soc. Math. France 133 (2005), no. 4, 619-639.

Para las funciones de $\mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}_+$ estos resultados se amplían en:

Funciones no negativas como cuadrados o sumas de cuadrados