Formas modulares de Teichmuller y teoría de números

Question

¿Las formas modulares de Teichmuller de género superior tienen, o se espera que tengan, implicaciones para la teoría de números que generalicen los tipos de resultados que se derivan del estudio de las formas modulares clásicas?

Answer 1

@David Hansen: Las formas modulares de Teichmuller son básicamente el análogo natural de las formas modulares de Siegel cuando se consideran secciones de haces de líneas en $M_g$ en lugar de $A_g$ . Buscar artículos de Ichikawa.

No sé mucho sobre las formas modulares de Teichmuller, pero mi asesor sabe un poco sobre ellas y, por lo que puedo decir de las conversaciones con él, no se sabe prácticamente nada sobre esta cuestión. Se me ocurren algunas razones plausibles para que esto sea así. (Esta respuesta es probablemente un poco ingenua, mis disculpas).

Una es que la diferencia entre las formas modulares de Siegel y las formas modulares de Teichmuller no se hace visible hasta el género tres. Para los géneros uno y dos el mapa de $M_g$ a $A_g$ es un isomorfismo y una inmersión abierta respectivamente, y todas las formas modulares de Teichmuller son sólo pullbacks de formas de $A_1$ y $A_2$ . En el género tres el mapa de Torelli es una inmersión abierta en los espacios de moduli gruesos, pero en el nivel de las pilas es una cubierta doble ramificada, lo que hace plausible que haya más funciones en $M_3$ que en $A_3$ . Y, en efecto, el anillo de formas modulares de Teichmuller de género tres se obtiene a partir del anillo de formas modulares de Siegel uniendo una raíz cuadrada de $\chi_{18}$ que desaparece exactamente en el lugar hiperelíptico, es decir, el lugar de la rama del mapa de Torelli. En cualquier caso, la cuestión es que las formas modulares de Siegel en los géneros superiores no se comprenden tan bien en comparación con la rica teoría que tenemos en los géneros bajos. En particular, conocemos muy pocos ejemplos de formas modulares de Teichmuller genuinas.

Otra razón más seria es que no está claro cómo se puede aplicar al caso de Teichmuller ninguna de las herramientas estándar para el estudio de las formas modulares ordinarias. Como ejemplo muy básico, por ejemplo, está completamente abierto si o cómo se puede definir una noción de operadores de Hecke que actúen sobre las formas modulares de Teichmuller: los cosets dobles en el grupo de clases de mapeo son una perspectiva aterradora, y no parece haber ningún análogo de las correspondencias estándar de Hecke en términos de subgrupos cíclicos de orden p. Lo que es peor es que ninguna de las herramientas estándar de automorfismo/Langlands, etc., parece ser aplicable al estudio de las formas modulares de Teichmuller. A diferencia del espacio medio superior de Siegel, el espacio de Teichmuller no es un espacio simétrico. Si creemos en la filosofía de Langlands, debería haber un grupo reductor en algún lugar del que "salieran" las formas modulares de Teichmuller, pero no hay ningún grupo reductor natural a la vista.

De todos modos, para responder realmente a tu pregunta: probablemente haya alguna conexión entre las formas modulares de Teichmuller y la teoría de los números. En particular, parece que hay $\ell$ -representaciones de Galois adáquicas naturalmente unidas a las formas modulares de Teichmuller. Simplemente no hay herramientas para estudiar estas representaciones.

Answer 2

$$\hbox{Vector-valued Teichmueller Modular forms}$$

Las formas modulares vectoriales de Siegel son la generalización natural de las formas modulares elípticas clásicas elípticas clásicas, tal como se ve al estudiar la cohomología de la variedad abeliana universal. A pesar de su relevancia, se han estudiado esencialmente para el género $g=2$ donde corresponden a conmutadores adecuados de formas modulares de Siegel.

En el caso $g=2$ y $g=3$ Ichikawa introdujo el concepto de formas modulares de Teichmueller. Resulta que las formas de Mumford para $g>3$ conducen al concepto de formas modulares vectoriales de Teichmueller.

Los principales pasos son los siguientes. Para cada número entero positivo fijo $g,n$ , defina $$M_n(g)=M_n:={g+n-1\choose n}\ ,\; N_n(g)=N_n:=(2n-1)(g-1)\ ,\quad K_n:=M_n-N_n\ ,$$ de modo que, para una curva $C$ del género $g\ge 2$ , $M_n$ y $N_n$ son las dimensiones de ${\rm Sym}^n H^0(K_C)$ y $H^0(K_C^n)$ respectivamente.

Dejemos que ${\frak H}_g:=\{Z\in M_g({\Bbb C})\mid {}^tZ=Z,\mathop{\rm Im} Z>0\}$ sea el semiespacio superior de Siegel espacio medio superior de Siegel. Sea $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_g,\beta_1,\ldots,\beta_g\}$ sea una base simpléctica de $H_1(C,{\Bbb Z})$ . Denote por $\omega_1,\ldots,\omega_g$ la base de $H^0(K_C)$ que satisface la condición de normalización estándar $\oint_{\alpha_i}\omega_j=\delta_{ij}$ y por $\tau_{ij}:=\oint_{\beta_i}\omega_j$ la matriz del período de Riemann, $i,j=1,\ldots,g$ . Denote por ${\cal I}_g$ el cierre del locus de Riemann de Riemann en ${\frak H}_g$ y por ${\cal M}_g$ el espacio de moduli de las curvas de género $g$ . Considere el caso $g\ge 2$ y una base simpléctica dada para $H_1(C,{\Bbb Z})$ . Para cada número entero positivo $n$ , considere la base $\tilde\omega_1^{(n)},\ldots,\tilde\omega_{M_n}^{(n)}$ de ${\rm Sym}^n H^0(K_C)$ cuyos elementos son productos tensoriales simetrizados de $n$ -tuplas de vectores de la base $\omega_1,\ldots,\omega_g$ tomada con respecto a una ordenación arbitraria elegida de una vez por todas. Denotemos por $\omega_i^{(n)}$ , $i=1,\ldots, M_n$ la imagen de $\tilde\omega_i^{(n)}$ bajo el mapa natural $\psi:{\rm Sym}^n H^0(K_C)\to H^0(K_C^n)$ . Es bien sabido que un mapa de este tipo es sobreyectivo si y sólo si $g=2$ o $C$ es no hiperelíptica de género $g>2$ . Para $n=2$ , $g=2$ y $g=3$ no hiperelíptica, este mapa es un isomorfismo.

Considere la Thetanullwerte $\chi_k(Z):=\prod_{\delta\hbox{ even}} \theta\[\delta\](0,Z)$ , $Z\in{\frak H}_g$ con $k=2^{g-2}(2^g+1)$ . Establecer $$F_g:=2^g \sum_{\delta\hbox{ even}}\theta^{16}\[\delta\](0,Z)-\bigl(\sum_{\delta\hbox{ even}}\theta^{8}\[\delta\](0,Z)\bigr)^2 \ .$$ Resulta que $F_4$ la forma Schottky-Igusa, desaparece sólo en el jacobiano. Además, existe una bonita relación entre $F_g$ y la serie theta $\Theta_\Lambda$ correspondiente a los entramados unimodulares pares $\Lambda=E_8$ y $\Lambda=D_{16}^+$ : $$F_g=2^{-2g}(\Theta_{D_{16}^+}-\Theta_{E_8}^2) \ .$$

Dejemos que $\{\phi^n_i\}_{1\le i\le N_n}$ sea una base de $H^0(K_C^n)$ , $n\geq2$ . La forma de Mumford es, hasta una constante universal $$\mu_{g,n}={\kappa[\omega]^{(2n-1)^2}\over \kappa[\phi^n]}{\phi^n_1\wedge\cdots\wedge\phi^n_{N_n}\over (\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_g)^{c_n}} \ ,$$ donde $\kappa[\omega]$ es una constante que depende únicamente de la elección de la base homológica mientras que $\kappa[\phi^n]$ también depende de la elección de la base $\phi^n$ (véase la proposición 1.2). En el caso $n=2$ y $g<4$ se puede elegir la base natural ${\rm Sym}^2 H^0(K_C)$ para $H^0(K_C^2)$ y para $g=2$ consigue $${\kappa[\omega]^{9}\over \kappa[\omega^{(2)}]} ={1\over \pi^{12}\chi_{5}^2(\tau)}\ ,$$ mientras que para $g=3$ $${\kappa[\omega]^{9}\over \kappa[\omega^{(2)}]} ={1\over 2^6\pi^{18}\chi_{18}^{1/2}(\tau)}\ .$$ Para $g>3$ uno tiene $g(g+1)/2-(3g-3)>0$ Así que aparentemente no hay una extensión natural. Sin embargo, se puede seguir tomando $3g-3$ elementos de ${\rm Sym}^2 H^0(K_C)$ o, más generalmente $N_n:=(2n-1)(g-1)$ elementos de ${\rm Sym}^n H^0(K_C)$ . Al hacer esto se produce alguna sorpresa.

1. Para simplificar la notación, denotemos aquí por $\omega^{(n)}$ la base $\{\omega^{(n)}_k\}$ con $k=i_1,\ldots,i_{N_n}\in\{1,\ldots,M_{n}\}$ . $$[i_{N_n+1},\ldots,i_{M_n}|\tau]=\epsilon_{i_1,\ldots,i_{M_n}} {\kappa[\omega^{(n)}]\over\kappa[\omega]^{(2n-1)^2}}\ ,$$ son formas modulares vectoriales de Teichmuller sin polos en ${\cal M}_g$ y que desaparece en el lugar hiperelíptico, de peso $$d_n:=6n^2-6n+1-{g+n-1\choose n-1} \ .$$ Nótese que la naturaleza vectorial es sólo una consecuencia de la desigualdad $M_n-N_n>0$ para algunos $g$ . Por ejemplo, para $n=2$ uno tiene $g(g+1)/2-(3g-3)>0$ satisfecho por $g>3$ . Esto implica que hay indeces libres: el $i_{N_n+1},\ldots,i_{M_n}$ , una buena pista de que la teoría de las formas modulares vectoriales de Teichmueller es una herramienta clave para investigar el problema de Schottky, véase más abajo para el caso del género 4 (presumiblemente aquí también deberían aparecer algunas estructuras interesantes de la teoría de números).

2. Para cada número entero $n\geq 2$ y para todos $i_{2},\ldots,i_{K_n}\in\{1,\ldots,M_n\}$ uno tiene $$\sum_{i=1}^{M_n}[i,i_{2},\ldots,i_{K_n}|\tau]\omega^{(n)}_{i}(x) =0\ .$$ En particular, para $n=2$ son todas las cuadriculas que caracterizan la curva canónica en el espacio proyectivo.

3. Sorprendentemente, uno encuentra que en $g=4$ , $[(ij)|\tau]\equiv [i|\tau]$ (véase el documento para la indexación) es proporcional a $$S_{4ij}(Z):={1+\delta_{ij}\over 2}{\partial F_4(Z)\over \partial Z_{ij}} \ .$$

4. Para $g=4$ el discriminante de las cuadriculas es proporcional a la raíz cuadrada de $\chi_{68}$ El $g=4$ Thetanullwerte $$\det S_4(\tau)=d\chi_{68}(\tau)^{1/2}\ ,$$ con $d$ una constante. Un paso clave aquí es el siguiente lema. Sea $C$ sea una superficie de Riemann no hiperelíptica de género $g=4$ o una superficie no triangular de $g=5$ . Entonces, el modelo canónico de $C$ está contenida en una cuádrica de rango $3$ si y sólo si $\prod_{\delta\hbox{ even}}\theta[\delta]=0$ .

5. El $g=4$ , $n=2$ La forma de Mumford es $$\mu_{4,2}=\pm{1\over c S_{4ij}}{\omega_1\omega_1\wedge\cdots\wedge \widehat{\omega_i\omega_j}\wedge\cdots\wedge \omega_4\omega_4\over (\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_4)^{13}} \ ,$$ con $c$ una constante.

Tenga en cuenta que $S_{4ij}(Z)$ trasformas con términos afines proporcionales a $F_4$ para que sea una forma modular vectorial sólo cuando $F_4=0$ que está en el jacobiano. Esto motiva el nombre de formas modulares vectoriales de Teichmueller. Nótese que también la raíz cuadrada de $\chi_{68}(\tau)$ sólo existe en ${\cal I}_4$ . De ello se desprende que $\det S_4$ y $\chi_{68}(\tau)^{1/2}$ son formas modulares (de peso $34$ ) sólo cuando se restringe a ${\cal I}_4$ .

Esto demuestra claramente que las formas modulares vectoriales de Teichmueller $[i_{N_n+1},\ldots,i_{M_n}|\tau]$ están profundamente relacionados con la geometría del jacobiano y con el problema de Schottky. La estructura del modular vectorial de Teichmueller en cualquier $g$ generados por las formas de Mumford, y sus propiedades, como la de generar curvas canónicas, es decir, las relaciones de Petri, apoyan firmemente la sugerencia de Mumford que las relaciones de Petri son fundamentales y deberían tener aplicaciones básicas: ver pg.241, D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Lecture Notes in Math. 1358, 1999. En realidad, parece que Mumford tenía razón, sólo hay que utilizar sus formas.

Una sugerencia para la bibliografía: los artículos de John Fay son excelentes y no muy conocidos como deberían. El que aparece en las Memorias de la AMS es una obra maestra.

Answer 3

Marco Matone, Roberto Volpato, Formas modulares vectoriales a partir de la forma Mumford, la forma Schottky-Igusa, el producto de Thetanullwerte y la sorprendente fórmula de Klein , Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), 2575-2587 doi: 10.1090/S0002-9939-2012-11526-6 , arXiv: 1102.0006 .

puede ser útil

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Resumen: Las formas modulares vectoriales de Siegel son la generalización natural de las formas modulares elípticas clásicas, como se ve al estudiar la cohomología de la variedad abeliana universal. Demostramos que para $g\geq 4$ En el marco de la investigación, una nueva clase de formas modulares vectoriales, definidas en el espacio de Teichmüller, aparece naturalmente a partir de las formas de Mumford, una cuestión directamente relacionada con el problema de Schottky. En este marco mostramos que el discriminante de la cuádrica asociada a las curvas complejas de género $4$ es proporcional a la raíz cuadrada de los productos de Thetanullwerte $\chi _{68}$ que es una prueba de la recientemente redescubierta "fórmula asombrosa" de Klein. Además, resulta que los coeficientes de dicha cuádrica son derivados de la forma Schottky-Igusa evaluados en el lugar del Jacobiano, lo que implica nuevas relaciones theta que implican a este último, $\chi _{68}$ y la serie theta correspondiente a los entramados unimodulares pares $E_8\oplus E_8$ y $D_{16}^+$ . También encontramos, para $g=4$ una relación funcional entre la componente singular del divisor theta y la matriz del período de Riemann.