Integrar en un hipercubo, no en una hiperesfera

Question

Denote $\square_m=\{\pmb{x}=(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m: 0\leq x_i\leq1,\,\,\forall i\}$ ser un $m$ -cubo dimensional.

Todo el mundo sabe que $\int_{\square_1}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}4$ .

PREGUNTA. Si $\Vert\cdot\Vert$ s $$\int_{\square_{2n-1}}\frac{d\pmb{x}}{(1+\Vert\pmb{x}\Vert^2)^n} =\frac{\pi^n}{4^nn!}.$$

Answer 1

Sí, es cierto, se deduce de las fórmulas de Integrales de caja de dimensiones superiores por Jonathan M. Borwein, O-Yeat Chan y R. E. Crandall.

\begin{align} &\text{define}\;\;C_{m}(s)=\int_{[0,1]^m}(1+|\vec{r}|^2)^{s/2}\,d\vec{r},\;\;\text{we need}\;\;C_{2n-1}(-2n).\\ &\text{the box integral is}\;\;B_m(s)=\int_{[0,1]^m}|\vec{r}|^s\,d\vec{r},\\ &\text{related to our integral by}\;\;2n C_{2n-1}(-2n)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\epsilon B_{2n}(-2n+\epsilon)\equiv {\rm Res}_{2n}. \end{align} La caja integral $B_n(s)$ tiene un polo en $n=-s$ con "residuo" ${\rm Res}_n$ . La ecuación 3.1 del artículo citado muestra que el residuo es una pieza (un $n$ -de la superficie de la unidad $n$ - esfera, por lo que es fácilmente evaluable, \begin{align} &{\rm Res}_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)},\\ &\text{hence}\;\;C_{2n-1}(-2n)=\frac{1}{2n}\frac{1}{2^{2n-1}}\frac{\pi^{n}}{\Gamma(n)}=\frac{1}{4^n}\frac{\pi^n}{n!}\;\;\text{as in the OP}. \end{align}

En términos más generales, podemos considerar

$$C_{p-1}(-p)=\int_{[0,1]^{p-1}}(1+|\vec{r}|^2)^{-p/2}\,d\vec{r}=\frac{1}{p}\,{\rm Res}_p=\frac{1}{p} \frac{1}{2^{p-1}}\frac{\pi^{p/2}}{\Gamma(p/2)}. $$ Esta fórmula es válida incluso para y impar $p\geq 2$ según se deduce de Gro-Tsen en un comentario.

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Hay integrales de hipercubo igualmente notables de donde salió esto, por ejemplo

$$\int_{[0,\pi/4]^k}\frac{d\theta_1 d\theta_2\cdots d\theta_k}{(1+1/\cos^2\theta_1+1/\cos^2\theta_2\cdots+1/\cos^2\theta_k)^{1/2}}=\frac{k!^2\pi^k}{(2k+1)!}.$$

Answer 2

He aquí una prueba elemental. Utilizando la fórmula \begin{equation} \frac1{a^n}=\frac1{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty u^{n-1} e^{-u\,a}\,du \tag{1} \end{equation} con $a=1+\|x\|^2$ , denotando su integral por $J_n$ , dejando $I:=[0,1]$ , $\phi(z):=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2}$ y $\Phi(z):=\int_{-\infty}^z\phi(t)\,dt$ y hacer sustituciones $x_1=z_1/\sqrt{2u}$ y luego $u=z^2/2$ tenemos \begin{align} J_n&=\frac1{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty u^{n-1} e^{-u}\,du \int_{I^{2n-1}}e^{-u\,\|x\|^2}\,dx \\ &=\frac1{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty u^{n-1} e^{-u}\,du \Big(\int_I e^{-u\,x_1^2}\,dx_1\Big)^{2n-1} \\ &=\frac{\pi^{n-1/2}}{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u}\,du \Big(\Phi(\sqrt{2u})-\frac12\Big)^{2n-1} \\ &=\frac{2\pi^{n}}{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty \Big(\Phi(z)-\frac12\Big)^{2n-1}\,\phi(z)\,dz \\ &=\frac{2\pi^{n}}{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty \Big(\Phi(z)-\frac12\Big)^{2n-1}\,d\Phi(z) \\ &=\frac{\pi^{n}}{4^n \Gamma(n+1)}, \end{align} como desee.

Esta derivación es válida siempre que $2n-1$ es un número entero positivo.

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Otros comentarios:

En términos más generales, habida cuenta de Teorema de Bernstein sobre funciones completamente monótonas se puede expresar de forma similar la integral de caja \begin{equation} \int_{I^n} g(\|x\|^2)\,dx \end{equation} como una integral ordinaria sobre $[0,\infty)$ -- para cualquier función completamente monótona $g$ . De hecho, el teorema de Bernstein afirma que cualquier función completamente monótona es una mezcla positiva de funciones exponenciales decrecientes; la identidad (1) es entonces una representación Bernstein explícita de la función completamente monótona $a\mapsto \frac1{a^n}$ .

Ahora, además, no hay que insistir en que la mezcla sea positiva, ya que se trata de identidades y no de desigualdades. Así pues, cualquier función $g$ que puede representarse como la mezcla \begin{equation} g(a)=\int_0^\infty e^{-u\,a}\,\mu(du) \end{equation} de funciones exponenciales decrecientes $a\mapsto e^{-u\,a}$ para $a>0$ donde $\mu$ es cualquier medida finita, posiblemente con signo ("mezcla"), servirá igualmente.