Espacios topológicos cuya imagen continua siempre está cerrada

Question

Si$X$ un espacio topológico, se dice que$X$ está universalmente cerrado si para cada espacio de Hausdorff$Y$ y cada mapa (continuo)$f:X\rightarrow Y$, la imagen de$X$ es un subconjunto cerrado de$Y$.

Está claro que todo espacio compacto está universalmente cerrado, pero ¿hay espacios no compactos universalmente cerrados?

Answer 1

Si$Z$ no es compacto, y$X=\{p\}\cup Z$ es el espacio cuyos conjuntos abiertos no vacíos tienen la forma$\{p\}\cup V$ con$V$ abierto en$Z$, entonces$X$ no es compacto, pero cada función continua desde$X$ hasta un espacio de Hausdorff es constante.