En el apéndice de ONAG (2ª edición), Conway señala que la definición de integración (utilizando las sumas de Riemann como opciones a la izquierda y a la derecha) da la respuesta "errónea" : $\int_0^\omega \exp(t)\thinspace dt=\exp(\omega)$ (en lugar de $\exp(\omega)-1$ ). Me pregunto si esto no se debió a la falta de algunas opciones (presumiblemente correctas), y si no se podría buscar una mejor definición utilizando la integración Kurzweil-Henstock (pero no fui capaz de inventar una, por supuesto, si no, no preguntaría aquí). ¿Se ha intentado ya la idea?
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Dean Hill
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2006
En un reciente artículo en el Avisos de la AMS Philip Ehrlich describe brevemente algunos avances en este ámbito. A continuación, un extracto relevante del artículo.
Conway originalmente expresó sus dudas de que las definiciones globales "razonables" de la exponenciación, el logaritmo, el seno y el coseno pudieran definirse en $\mathbf{No}$ . Sin embargo, gracias a los esfuerzos colectivos de Kruskal, Norton, Gonshor, van den Dries, Ehrlich y Kaplan, esta duda se ha disipado. Van den Dries y Ehrlich (2001) demostraron que $\mathbf{No}$ junto con la función exponencial de Kruskal-Gonshor $\exp$ definido en él tiene las mismas propiedades elementales del campo ordenado de números reales con exponenciación real, y Ehrlich y Kaplan han demostrado además que $\mathbf{No}$ tiene funciones canónicas de seno y coseno que a su vez conducen a una función exponencial canónica en $\mathbf{No}$ 's surcomplejo contraparte ${\mathbf{No}}[i]$ que se extiende $\exp$ .
Alling, Fornasiero, Rubinstein-Salzedo y Swaminathan, y Costin, Ehrlich y Friedman también han desarrollado rudimentos adicionales de análisis sobre los surreales. Costin y Ehrlich, en particular, han desarrollado una teoría de integración (y diferenciación) que amplía el rango de análisis de los reales a los surreales para una gran subclase de funciones resurgentes que surgen en el análisis aplicado. Las funciones resurgentes, que generalizan las funciones analíticas, fueron introducidas por Écalle a principios de la década de 1980 en relación con los trabajos relacionados con el problema 16 de Hilbert. A diferencia del análisis no estándar, que ofrece un enfoque infinitesimalista de la integración en los reales extendidos ( $\mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ ), la integración surrealista se ocupa de integrales cuyos límites y valores no necesitan ser reales extendidos en absoluto. Por ejemplo, en la teoría surrealista (poniendo $e^x=\exp x$ ) tenemos $$\begin{equation*} \int _{0}^{\omega }e^{x}dx=e^{\omega }-1=\omega ^{\omega }-1. \end{equation*}$$ Este trabajo contribuye a la realización de algunos de los objetivos analíticos expresados por Kruskal y Norton en sus primeros intentos infructuosos de establecer una teoría de la integración surrealista como la descrita por Conway.
En particular, la teoría de la integración mencionada anteriormente se desarrolla en Integración en los surreales: una conjetura de Conway, Kruskal y Norton , arXiv:1505.02478, 2015.
Ver también Ehrlich's respuesta a una pregunta de MO relacionada .
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Para aquellos de nosotros cuyos conocimientos de cálculo surrealista están un poco oxidados, ¿sería posible que esbozaras el cálculo de la respuesta "incorrecta"?
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Mmm... No encuentro mi copia de ONAG ; la idea principal es utilizar para las opciones izquierda y derecha sumas de Riemann de la función a integrar, integrales de la misma función sobre intervalos más simples (es decir, dados por las opciones de los límites), e integrales de funciones más simples sobre el mismo intervalo (trabajando sólo con funciones monótonas positivas, si recuerdo bien).
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El cálculo se atribuye a Kruskal, pero no se proporcionan detalles. En el apéndice se ofrece la definición de Norton de la integral, que es bastante complicada y se explica en media página. Dado que la conclusión de Conway es que la definición de Norton probablemente no es la "correcta", no estoy seguro de que sea muy útil reproducirla aquí.