¿Por qué$\sum_{p=1}^n \exp\left(\frac{i\pi p l}{2m}\right)/\prod_{k=1,k\neq p}^n\sin\left(\frac{\pi (k-p)}{2m}\right)$ desaparece?

Question

Mientras trataba de probar algunas identidades para generar funciones, terminé necesitando mostrar que

PS

para enteros$$\sum_{p=1}^n \exp\left(\frac{i\pi p l}{2m}\right)\prod_{\substack{k=1\\k\neq p}}^n\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi (k-p)}{2m}\right)} \stackrel{?}{=} 0$,$m \geq 1$ y$2\leq n\leq 2m$. ¿Se conoce esta identidad? He comprobado que es válido para valores pequeños, pero hasta ahora no he podido probar el caso general.

Answer 1

Consideremos el caso en el que$n$ es impar. Sea$$P(x):=\exp\left(\frac{ixl}{2}\right)\left(\exp\left(\frac{ix}{2}\right)-\exp\left(\frac{-ix}{2}\right)\right),$ $ y observe que el grado de$P$ como polinomio exponencial es igual a$$\max\left(\left|\frac{l+1}{2}\right|,\left|\frac{l-1}{2}\right|\right)\leq\frac{n-1}{2}.$$ Therefore this is the unique trigonometric polynomial of degree at most $ \ frac {n-1} {2}$ passing through any given $ n$ distinct points. Let these given points be $ x_p = \ frac {\ pi p} {m}$ for $ p \ in \ {1, \ dots, n \}$. Then, the trigonometric version of Lagrange's interpolation formula tells us that $ P (x) $ se puede escribir como$$P(x)=\sum _{p=1}^n P(x_p)\prod_{\substack{k=1\\k\neq p}}^n\frac{\sin\frac{1}{2}(x_k-x)}{\sin\frac{1}{2}(x_k-x_p)}.$ $ Conectando$x=0$ obtenemos$$0=\sum _{p=1}^n \exp\left(\frac{i\pi p l}{2m}\right)2i\prod_{k=1}^n\sin\left(\frac{\pi k}{2m}\right)\prod_{\substack{k=1\\k\neq p}}^n\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi (k-p)}{2m}\right)},$ $ y dividiendo por los factores intermedios sigue la identidad del OP.

El caso de incluso$n$ se puede hacer de manera similar.