La cardinalidad de a $H(\kappa)$

Question

De nuevo tengo problemas con algunos ejercicios en Kunen de la teoría de conjuntos.

En la siguiente, vamos a $\kappa > \omega$ a un cardenal. A continuación quiero mostrar que

1) $|H(\kappa)| = 2^{<\kappa}$

2) $H(\kappa)=R(\kappa)$ si y sólo si $\kappa = \beth_{\kappa}$

En 1) la desigualdad de $\geq$ es fácil, pero no puedo demostrar $\leq$. 2) no tengo idea. Siempre es cierto que $H(\kappa) \subseteq R(\kappa)$.

Me puedes dar una pista?

Answer 1

1) Para mostrar que el $|H(\kappa)| \leq 2^{<\kappa}$, tenemos que el código de elementos de $H(\kappa)$ usando subconjuntos de los números ordinales $< \kappa$.

Deje $x \in H(\kappa)$ y deje $a$ ser el cierre transitivo de $\{x\}$. Fijar un bijection $f:|a|\to a$ $f(0) = x$ y deje $E \subseteq |a|^2$ ser definido por $\xi \mathrel{E} \zeta$ fib $f(\xi) \in f(\zeta)$. A continuación, $x$ es recuperado como el valor de $0$ en el colapso transitivo de $(|a|,E)$. El par $(|a|,E)$ puede ser codificado como un subconjunto de a $|a|^2 < \kappa$. Este proceso de codificación se muestra que el $|H(\kappa)| \leq 2^{<\kappa}$.

2) A ver que $H(\kappa) \subseteq R(\kappa)$, tenga en cuenta que el rango de un elemento $x \in H(\kappa)$ es menor que $|a|^+$ donde $a$ es una vez más el cierre transitivo de $\{x\}$. Desde $|R(\kappa)| = \beth_\kappa$, podemos ver que $H(\kappa) = R(\kappa)$ sólo puede contener al $2^{<\kappa} = \beth_\kappa$. Tenga en cuenta que $2^{\lambda} < \beth_\kappa$ por cada $\lambda < \beth_\kappa$. Por lo tanto, $H(\kappa) = R(\kappa)$ implica que el $\kappa = \beth_\kappa$.

A ver que $\kappa = \beth_\kappa$ implica que el $H(\kappa) = R(\kappa)$ es suficiente para comprobar que cada elemento de a $R(\kappa)$ tiene cierre transitivo de tamaño de menos de $\beth_\kappa$. De hecho, esto es válido para cada límite ordinal $\kappa$: si $x \in R(\kappa)$ $x \in R(\alpha)$ algunos $\alpha < \kappa$ y por lo tanto el cierre transitivo de $x$ tiene de tamaño en la mayoría de las $|R(\alpha)| \leq \beth_\alpha < \beth_\kappa$.

Answer 2

No sé si estoy en lo cierto, pero creo que es posible probar que si $k$ es regular, entonces :

dando a $R_{\alpha}=\cup_{\beta < \alpha} P_{<k}(R_{\beta})$ ($R_0=\emptyset$) a continuación, $H(k)=\cup_{\alpha \in ORD} R_{\alpha}=\cup_{\alpha < k} R_{\alpha}$

donde $P_{<k}$ es el conjunto de todos subconjunto de cardinalidad $< k$

Al menos me lo demostró algún día, pero nadie comprueba si estaba en lo cierto... (y a menudo estoy mal ;) )