El latice abarcado por$m$ 0-1 vectores aleatorios de longitud$n$

Question

Considere$m$ vectores aleatorios 0-1 de longitud$n$. Deje que$L$ sea el enrejado formado por ellos. ¿Cuál es el valor de$m$ (en función de$n$) para el que es cierto con probabilidad positiva que$L=Z^n$? De manera más general, sea$V(L)$ el rango de$Z^n/L$ (el volumen de$L$). ¿Cuál es el comportamiento de$V(L)$ en función de$n$ y$m$?

Answer 1

Cuando elige n + 1 vectores de Z ^ n de acuerdo básicamente con cualquier distribución, la probabilidad que generan es heurísticamente (para n grande) el recíproco de zeta (2) zeta (3), que es aproximadamente 0.436 ...

Por ejemplo, lo hice 1000 corridas de 21 vectores en Z ^ {20} y obtuve el enrejado completo 430 veces.

En otras palabras: la respuesta es m = n + 1 pero no sé si podrías probarlo.