Número de curvas sobre un campo finito

Question

Dejemos que $K$ sea un campo finito. ¿Existe una fórmula para el número de clases de isomorfismo de género $g$ curvas suaves sobre $K$ ?

En otras palabras, ¿existe una fórmula para el número de puntos racionales de la pila $\mathcal{M}_{g}$ en $K$ ? Si es así, ¿cuál es una referencia estándar para esto?

Answer 1

Una fórmula para el número de clases de isomorfismo de curvas sobre $\mathbf F_q$ es probablemente inútil. Como señalan Olivier Benoist y Qiaochu Yuan, el número mucho más bien comportado viene dado por las clases de isomorfismo ponderadas por su grupo de automorfismo, es decir, el cardinalidad del grupo del grupúsculo $\mathcal M_g(\mathbf F_q)$ : $$ \# \mathcal M_g(\mathbf F_q) = \sum_{[C]/\cong}\frac 1 {\# \mathrm{Aut}(C)}$$ Este es también el número de $\mathbf F_q$ -del espacio de moduli grueso. Tiene una interpretación cohomológica (fórmula de la traza de Grothendieck-Lefschetz) que dice $$ \# \mathcal M_g(\mathbf F_q) = \sum_{k}(-1)^k \mathrm{Tr}(\mathrm{Frob}_q \mid H^k_c(\mathcal M_g,\mathbf Q_\ell)).$$ Por lo tanto, encontrar una fórmula para el número de $\mathbf F_q$ -se convierte en una cuestión de comprensión de la cohomología de $\mathcal M_g$ como $\ell$ -representación de Galois de los ádicos.

Para los pequeños $g$ toda la cohomología será de tipo Tate, lo que significa que $\# \mathcal M_g(\mathbf F_q)$ es un polinomio en $q$ pero para los grandes $g$ esto seguramente no será cierto y entonces no está muy claro qué significaría escribir una fórmula explícita, como sugiere Joe Silverman. Aquí están las fórmulas para $g \leq 4$ : $$ \# \mathcal M_2(\mathbf F_q) = q^3$$ $$ \# \mathcal M_3(\mathbf F_q) = q^6+q^5+1$$ $$ \# \mathcal M_4(\mathbf F_q) = q^9+q^8+q^7-q^6$$ Para el primero de ellos, es un hecho clásico que $\mathcal M_2$ tiene la cohomología racional de un punto. También para $\mathcal M_3$ y $\mathcal M_4$ se conoce realmente la cohomología y su estructura de Galois en cada grado, no sólo la suma alternada de grupos de cohomología: véase "Cohomology of $\mathcal M_3$ y $\mathcal M_3^1$ " y "Cohomología racional del espacio de moduli de las curvas de género 4" de Tommasi. No sé si $\#\mathcal M_5(\mathbf F_q)$ está en la literatura, pero probablemente es algo que uno podría averiguar. Pero muy pronto escribir una fórmula explícita va a ser inútil.

También se puede empezar a poner puntos marcados. El número de $\mathbf F_q$ -puntos de $\mathcal M_{1,n}$ y $\mathcal M_{2,n}$ son en cierto modo conocidos por todos $n$ Ver "Resolving mixed Hodge modules on configuration spaces" de Getzler y mi preprint http://arxiv.org/abs/1310.2508 . Aquí también es cierto que para $n$ grande no es un polinomio en $q$ pero en su lugar se encuentra una expresión polinómica en $q$ y ciertas trazas de operadores de Hecke sobre formas elípticas y de cúspide de Siegel. También podrían interesarle los artículos de (varias combinaciones de) Bergström, Tommasi, Faber, van der Geer...

---

Adenda, mucho más tarde: El artículo "On the number of curves of genus 2 over a finite field" de Gabriel Cardona determina el número real de clases de isomorfismo de curvas de género dos sobre un campo finito (de característica impar). El caso de la característica par se trata en un artículo complementario.