Anillo con tres operaciones binarias

Question

Un estudiante bastante precoz que estudiaba álgebra abstracta conmigo hizo la siguiente pregunta: ¿Hay anillos interesantes en los que no solo hay dos sino tres operaciones binarias junto con algunas propiedades de distributividad apropiadas?

Answer 1

Los números reales$\mathbb{R}$ con las siguientes tres operaciones binarias:

• El maximo: $(x,y)\mapsto\max\{x,y\}$.

• La suma: $(x,y)\mapsto x+y$.

• El producto: $(x,y)\mapsto x\cdot y$.

El máximo es a la suma lo que la suma al producto, excepto por el hecho de que el máximo no tiene inversas, ni una unidad, es decir$(\mathbb{R},\max,+)$ es un semiring, mientras que$(\mathbb{R},+,\cdot)$ es un anillo.

Answer 2

Un ejemplo importante es la noción de álgebra de Gerstenhaber . Es simultáneamente un anillo conmutativo y un álgebra de Lie, de modo que el producto y el paréntesis satisfacen la identidad de Poisson, excepto que todas estas cosas deben entenderse en un sentido graduado diferencial.

Answer 3

Muy en el espíritu de la respuesta de Dan, pero más elemental, están las álgebras de Poisson , álgebras asociativas con corchetes de Lie que actúan como derivaciones.