¿Qué tipo de distribución de probabilidad maximiza la distancia promedio entre dos puntos?

Question

Si$f$ es una distribución de probabilidad en el disco de la unidad en$\mathbb{R}^2$, y$X_1$ y$X_2$ son dos muestras independientes de$f$, entonces ¿cuál es la distribución$f^*$ que maximiza la distancia promedio entre estas dos muestras,$E\|X_1-X_2\|$? ¿Debería distribuirse toda la masa de probabilidad a lo largo del perímetro?

Answer 1

la distribución uniforme a lo largo del perímetro da una distancia promedio$4/\pi$; una pequeña perturbación de esta distribución reduce la distancia media, por lo que es al menos un óptimo local.