¿Cómo explicar que la prueba es importante

Question

No sé si este es el lugar adecuado para publicar esto o no, pero voy a seguir adelante de todos modos (lo siento si no es el lugar correcto)

Ayer estaba hablando sobre un determinado teorema de la geometría con mi hermano, que él sólo se aprende en la escuela. Yo le había preguntado si sabía que la prueba por él, él respondió diciendo que su maestro ha dicho que no era necesario.

Entonces, le pregunté a sentarse y tratar de demostrar el teorema. Dijo que conocer el teorema de la cuenta de más de conocer la prueba. ¿Cómo le explico que sabiendo que la prueba es más importante y cómo se puede incluso ayudar a expandir su pensamiento?

Sé que esta pregunta no tiene una sola punta respuesta es pre-requisito para preguntas publicado aquí, pero agradecería cualquier respuesta

Answer 1

Una idea sobre por qué el aprendizaje de las pruebas (no sólo teoremas) es importante: se podría decir que no es importante saber cómo preparar la comida porque hay un Mcdonald's, en la calle. Pero, si una persona se vuelve estrictamente dependientes de Mcdonald's para la preparación de la comida, entonces podemos estar seguros de que la (s)que él nunca será capaz de producir un (vale la pena) plato de su propia creación.

De la misma manera con las pruebas-se podría decir que es importante saber cómo "preparar" a la "comida" de un teorema a través de la prueba porque no es el "McDonalds" de el libro de matemáticas cercanos. Pero, después de años de confiar en la memorización de teoremas, una persona nunca será capaz de llegar con un sonido teorema de sus propios.

Ser capaz de demostrar algo que hace que sea mucho más solidificado en la mente de uno, y le da una herramienta que se aplica a muchas circunstancias, no sólo en una sola instancia. Por ejemplo, mi doble ángulo fórmula no puede ser útil cuando necesito un triple ángulo de fórmula, pero podría utilizar la prueba/derivación de la doble ángulo fórmula para encontrar mi propia triple ángulo! Esto es donde la prueba es mucho más potente que la memorización.

Answer 2

Un enfoque sería para dar un ejemplo de un teorema que suena tan absurdo que nadie en su sano juicio aceptaría sin pruebas. Por ejemplo, mencionar el de Banach-Tarski resultado para el efecto de que la unidad de la bola se puede descomponer en 5 partes que luego pueden ser remontados por los movimientos rígidos en... dos de la unidad de bolas.

Otro ejemplo sería el de la igualdad de $0.999\ldots$$1$. Por supuesto, esto él no lo van a creer, incluso después de darle una prueba :-)

Answer 3

Estoy seguro de que podría escribir más acerca de por qué las pruebas son importantes, pero creo que todo se reduce a esto. Las pruebas son importantes porque algunos muy intuitiva resultados resultan ser falsas, y si solo aceptamos los resultados con ninguna prueba, ya que algo "suena correcto', entonces podríamos ser llevado por falsos caminos. Quién sabe qué horrores que podría cosechar?

Answer 4

Creo que la aversión por las pruebas, y la creencia de que no debe ser importante, viene de dos conceptos erróneos:

1. Que las pruebas son todos de dos columnas de las pruebas.
2. Podemos probar las cosas para saber si son verdad.

La primera es descaradamente falso. La mayoría de las pruebas son párrafo pruebas, y no tiene que mostrar cada pequeño paso. Nadie va a estar disgustado con usted si ir un par de variables de aquí y de allí sin decirlo explícitamente. A menudo, las pruebas se enseña en la escuela secundaria con un formato específico, y apartarse de él es penalizado. Esto hace parecer bastante arbitraria y mudo.

La segunda es un poco más sutil. Las pruebas, de hecho, demostrar que las cosas son verdaderas. Un beneficio de esto es que podemos estar absolutamente seguros de que estamos trabajando "en tierra firme", por así decirlo. Pero si usted no está seguro de si algo es verdadero, no se va tratando de probarlo primero. El aspecto más importante de una prueba de ello es que se trata de una justificación de por qué algo es verdadero. Probando el "por qué" de algo que da

• el potencial para más de generalización
• una mayor caja de herramientas para probar otras cosas

Para el primer punto, si usted nota Möbius de la inversión de las obras para la totient función, sólo podía demostrar que y lo llaman un día. Pero si nos fijamos en la prueba, usted podría darse cuenta de que en realidad no relacionados con la computación de la totient de funcionar en absoluto, y sólo utiliza el hecho de que es multiplicativa. (Bueno, más probable es que había que tomar un poco de agujas a renunciar a ese hecho, pero todavía es posible para quitarla) Esto le da mucho más general del teorema, que sería mucho más difícil de encontrar si conocieras los casos especiales, sin pruebas.

Para el segundo punto, anorton la respuesta tiene un muy buen ejemplo que involucra el doble y el triple de los ángulos.

En última instancia, las pruebas para verificar los resultados que usted está bastante seguro de que son verdaderas. Porque todo lo que te enseñan ha demostrado, esto parece inútil para bastante tiempo. Pero cuando usted realmente hacer que es necesario encontrar nuevas cosas, las pruebas son indispensables.

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La otra comparación que he escuchado es la de los laboratorios de ciencias. Sí, ¿por qué ir y probar que $F = ma$ es verdadera si podemos comprobar que el libro de física? Debido a que no se cómo se hace la ciencia en el mundo real. Se utilizan para el apoyo a las hipótesis que usted tiene. (Aunque en matemáticas, se llega a probar !)

Por otro lado, esto puede ser una peligrosa analogía, porque esto es exactamente lo contrario de cómo funciona la matemática. No conjetura cosas en el papel y se prueban en el laboratorio, se conjetura con ejemplos numéricos (el laboratorio) y, a continuación, probar cosas en el papel.

Answer 5

Las pruebas son importantes porque ellos te dicen por qué el teorema es cierto: no cantidad de experiencia práctica con el uso de algunos útiles fórmula puede explicar su existencia, y esto hace que las matemáticas sólo un suave narrativa de afirmaciones para ser juzgado por el mérito de su aplicabilidad a una ocasional de intereses. Para tomar una geométricas ejemplo, no creo que sea del todo relevante para mi vida que el de la circunferencia inscrita de un triángulo se centra en la intersección de las tres bisectrices de los ángulos, pero después de un momento de reflexión, me encontré con un lindo prueba por simetría; usted no pensaría que iba a funcionar, dado que el triángulo probable es totalmente asimétrico. Así que ahora me gusta el teorema, y hace diez minutos, no me importaba. Todavía no tengo ningún uso para él.

Edit: La prueba, por cierto, es centrarse en el círculo en lugar de el triángulo. Elija cualquiera de los dos tangente líneas y deje $P$ ser su punto de intersección. La línea de $P$ al centro del círculo es un eje de simetría de esta imagen, que se puede probar por la caída de los radios a los puntos de tangencia y el uso de triángulos rectángulos semejantes. Por lo tanto se divide en dos partes iguales sus ángulos, y que significa que el centro se encuentra en la bisectriz del ángulo entre dos lados de un triángulo a la que es tangente. Si eso no Euclides prueba, sin duda, podría ser.