Módulos libres sobre enteros

Question

Después del curso de álgebra lineal estoy más familiarizado con los espacios vectoriales que con los módulos, así que mi pregunta puede parecer una tontería, pero creo que es bastante natural para alguien que piensa en módulos como 'espacios vectoriales sobre un anillo': ¿cuál de los siguientes es un módulo libre (libre significa: que tiene una base, todos ellos están sobre un anillo $\mathbb{Z}$ ):

a) $\mathbb{Z}^{\infty}$ -todas las secuencias de números enteros,

b) $\mathbb{Z}^{\mathbb{R}}$ -todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ ,

c) el conjunto de todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ con un soporte como máximo contable?

Answer 1

Ninguno de ellos es gratuito. Para (a), hay un teorema de Specker ("Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen" Portugaliae Math. 1950) que cubre este grupo y muchos de sus subgrupos (los llamados subgrupos monótonos). Creo que para este grupo en particular, el resultado puede estar ya en un artículo de Baer de 1937. Como los grupos en (b) y (c) tienen subgrupos isomorfos al grupo en (a), y como los subgrupos de grupos abelianos libres son libres, se deduce que (b) y (c) tampoco son libres.