Dado un cuadrado $n \times n$ matriz $A$ que satisface $$\sum\limits_{k=0}^n a_k A^k = 0$$ para unos coeficientes $a_0, a_1, \dots, a_n,$ podemos deducir que su polinomio característico es $\sum\limits_{k=0}^n a_k x^k$ ?
Respuestas
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La respuesta es no.
Se le otorga un título $n$ polinomio $p(x)$ que un $n\times n$ matriz $A$ satisface. Esta información no es suficiente para encontrar el polinomio característico $c_A(x)$ aunque podrá reducirlo a un número finito de posibilidades.
Veamos un ejemplo para ver por qué. Supongamos que tu amigo elige la matriz $A$ . Supongamos que no te dice $A$ pero sí te dice $p(x)$ y le pide que adivine $c_A(x)$ . Suponga que su amigo eligió
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$
y te dijo que $p(x)=x^3-6x^2+11x-6$ .
Se podría entonces razonar que $p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ . Lo que significaría que el polinomio mínimo $m_A(x)$ debe ser uno de los siguientes: $(x-1)$ , $(x-2)$ , $(x-3)$ , $(x-1)(x-2)$ , $(x-1)(x-3)$ , $(x-2)(x-3)$ , $(x-1)(x-2)(x-3)$ .
Por lo tanto, el polinomio característico $c_A(x)$ debe ser uno de los siguientes: $(x-1)^3$ , $(x-2)^3$ , $(x-3)^3$ , $(x-1)^2(x-2)$ , $(x-1)(x-2)^2$ , $(x-1)^2(x-3)$ , $(x-1)(x-3)^2$ , $(x-2)^2(x-3)$ , $(x-2)(x-3)^2$ , $(x-1)(x-2)(x-3)$ .
Desde que tu amigo eligió
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$
el polinomio característico es $c_A(x)=(x-1)^2(x-2)$ pero no puedes probarlo, porque por lo que sabes puede haber elegido
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
que también satisface $p(x)=x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$ .
Stephan Aßmus
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Matriz de toma $$ A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) $$ Entonces $$ A^4 - 11 A^3 + 41 A^2 - 61 A + 30 I = 0$$ Sin embargo, el polinomio característico es $$ x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 $$ y el polinomio mínimo es $$ x^2 - 3 x + 2 $$
Acccumulation
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user496634
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Dejemos que $m$ sea el polinomio mínimo y $p$ sea el polinomio característico de $A$ . Entonces $m(x)\mid p(x)$ y $m(x)\mid q(x)$ où $q(x)=\sum a_kx^k$ . La cuestión es si esto implica realmente que $p(x)=kq(x)$ para un factor constante (no nulo) $k$ lo cual es claramente falso. En particular, el polinomio $p(x)/m(x)$ se puede cambiar por cualquier otra cosa y volver a multiplicar por $m(x)$ le dará otro múltiplo de $m(x)$ con el mismo grado pero es diferente de un múltiplo constante de $p(x)$ .
Sin embargo, el resultado es cierto si suponemos que $m(x)$ tiene grado $n$ desde entonces $p(x)$ y $q(x)$ será un múltiplo constante de $m(x)$ .
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Hasta un factor constante no nulo, sí si $a_n\ne 0$ porque tenemos un múltiplo del polinomio mínimo de $A$ que tiene el grado esperado.
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No creo que se pueda deducir el polinomio característico con esta información, aunque se puede reducir a un número finito de posibilidades. En mi respuesta de abajo, he dado un ejemplo en el que no se puede deducir el polinomio mínimo. Por favor, hazme saber si tienes preguntas.