¿Cuál puede ser el anillo de cohomología de una variedad?

Question

¿Hay algo bien conocido acerca de qué anillo puede ser un anillo de cohomología de una variedad? Más concretamente, me interesaría la siguiente pregunta: ¿existe un$m$, st para cada$r,s\in\mathbb{N}$ y$\beta_{i,j}^k\in\mathbb{Z}$, existe un compacto conectado$m$ - manifold$M$ st$H^2(M)\simeq \mathbb{Z}^r$,$H^4(M)\simeq \mathbb{Z}^{s}$ y$x_i\smile x_j=\sum \beta_{i,j}^k y_k$ para los generadores de cohomología? Agradecería alguna referencia.