cuál es el equivalente de la constante de Euler para los entramados de mayor dimensión

Question

Dejemos que $\Lambda$ sea una red unimodular en $\mathbb R^d$ . Entonces hay constantes tales que

$$\sum_{\substack{\gamma\in \Lambda\\0<|\gamma|<R\\}} \frac{1}{|\gamma|^d} = c_1 \log R + c_2 + o(1).$$

Mis preguntas son: ¿ $c_2$ dependen del entramado? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Resuelvo el caso $d=2$ abajo. No he comprobado todo cuidadosamente, así que espero que no haya errores.

Hasta la homotecia, cualquier retículo es equivalente a uno generado por los números complejos $1,z$ con $z \in \mathbb{H}$ . De hecho, $z$ puede elegirse para estar en el dominio fundamental estándar para $SL_2(\mathbb{Z}) \backslash \mathbb{H}$ . Para que dicha red sea unimodular, basta con reescalar mediante un escalar $\lambda > 0$ para conseguir $\lambda, \lambda z$ con $\lambda = y^{-1/2}$ . Aquí $z= x +i y$ , $y>0$ . Entonces cualquier elemento de la red $\Lambda$ puede escribirse de forma única como $\lambda cz + \lambda d $ con $(c,d) \in \mathbb{Z}^2$ , $(c,d) \neq (0,0)$ . La suma en cuestión, en esta notación, es entonces $$\sum_{0 < |\lambda cz + \lambda d | < R} |\lambda cz + \lambda d |^{-2}.$$ Mediante una fórmula de tipo Perron, podemos evaluar dicha suma asintóticamente mediante una integral de contorno de la forma $$\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma - iT}^{\sigma + iT} R^s F(s) \frac{ds}{s},$$ donde $$F(s) = \sum_{(c,d) \neq (0,0)} |\lambda cz + \lambda d |^{-2-s}.$$ En la práctica, lo único que importa es el comportamiento analítico de $F(s)$ cerca de $s=0$ .

Ahora $F(s)$ está estrechamente relacionada con la serie de Eisenstein $E(z,s)$ definido por $$E(z,s) = \frac{1}{2} \sum_{\gcd(c,d) =1 } \frac{y^s}{|cz+d|^{2s}} = \frac12 \frac{1}{\zeta(2s)} \sum_{(c,d) \neq (0,0)} \frac{y^s}{|cz+d|^{2s}}.$$ A no ser que me haya equivocado, un breve cálculo (sacando un gcd para dar la función zeta) da $F(s) = 2 \zeta(2+s) E(z,1+\frac{s}{2}).$

La constante $c_1$ sólo depende del residuo de $F(s)$ en $s=0$ que seguramente se puede calcular con bastante facilidad; por supuesto, no depende de la red. Para obtener $c_2$ hay que calcular el siguiente término en la expansión de Laurent de $F(s)$ , que creo que es igual a una constante menos $\log y^{1/2} |\eta(z)|^2$ . Aquí esta función $f(z)=\log y^{1/2} |\eta(z)|^2$ es $SL_2(\mathbb{Z})$ -invariante. Ahora $f(z)$ depende de $z$ y, por lo tanto, sí $c_2$ depende del entramado de una manera bastante interesante.

Apuesto a que para $d \geq 3$ hay que encontrar la serie de Eisenstein correspondiente y su expansión de Laurent.

Answer 2

$\def\RR{\mathbb{R}}\def\ZZ{\mathbb{Z}}$ Esto es esencialmente el término constante en el Epstein $\zeta$ -función . Dada una red $\Lambda$ en $\RR^d$ El Epstein $\zeta$ es la función $$Z(\Lambda, s) = \sum_{g \in \Lambda \setminus \{ 0 \}} \frac{1}{(g^T g)^s}.$$ $Z$ tiene un polo simple en $d/2$ con residuos $\tfrac{\pi^{d/2}}{\sqrt{\det \Lambda} \ \Gamma(d/2)}$ y ningún otro polo en $\mathrm{Re}(s)\geq d/2$ . Establecer $$Z(s) = \frac{\pi^{d/2}}{(\det \Lambda) \ \Gamma(d/2) (s-d/2)}+c(\Lambda) + O(s-d/2)$$

Hay herramientas estándar para convertir las estimaciones de las series de Dirichlet en estimaciones de suma parcial. Si no dejara ninguna constante, entonces $$c_1 = \frac{2 \pi^{d/2}}{(\det \Lambda) \ \Gamma(d/2)} \quad c_2 = c(\Lambda).$$ El teorema 4 de Terras, " Expansiones en serie de Bessel de la función zeta de Epstein y la ecuación funcional ", Trans. AMS, Vol. 183 (Sep., 1973), pp. 477-486 da una fórmula para $c(\Lambda)$ en términos de otras funciones, pero no me siento competente para resumirlo.