Lista de enteros sin ninguna progresión aritmética de n términos

Question

Consideremos un entero positivo $n$ y la lista de los $n^2$ números enteros de $1$ a $n^2$ . ¿Cuál es el número mínimo $f(n)$ de números enteros a ser cancelados en esta lista para que sea imposible formar cualquier progresión aritmética de $n$ con el resto de los números enteros?

Answer 1

Extendiendo mi comentario a una respuesta para los pequeños $n$ un programa de fuerza bruta da

$$\begin {align} f(1)&=1 &&\{1\} \\ f(2)&=3 &&\{1,2,3\} \\ f(3)&=4 &&\{3,4,5,7\} \\ f(4)&=6 &&\{3,4,5,6,10,13\} \\ f(5)&=7 &&\{3, 7, 9, 10, 11, 16, 21\} \\ f(6)&=9 &&\{5, 8, 12, 14, 15, 16, 21, 26, 31\} \\ f(7)&=11 &&\{3, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 22, 29, 36, 43\} \\ f(8)&=13 &&\{7, 10, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 29, 36, 43, 50, 57\} \end {align}$$