por qué la mayoría de los ángulos son correctos

Question

Los diagramas de Coxeter-Dynkin nos dicen que en un Coxeter simplex esférico la mayoría de los ángulos diedros son rectos. Digamos que entre$\tfrac{n{\cdot}(n+1)}2$ ángulos diedros podemos tener como máximo$n$ ángulos que no son correctos.

¿Es posible ver esta declaración sin clasificación?

Answer 1

Deje que el sistema raíz sea$v_1$,…,$v_n$ con todos los elementos normalizados a la longitud$1$. Entonces$\langle v_i, v_i \rangle =1$, tenemos$\langle v_i, v_j \rangle \leq - \cos (\pi/3) = -1/2$ para al menos$n$ pares$(i,j)$, y tenemos$\langle v_i, v_j \rangle \leq 0$ para todos los$i \neq j$.

Pero entonces$$\left\langle \sum_{i=1}^n v_i, \sum_{i=1}^n v_i \right\rangle \leq n + 2 n (-1/2) =0, una contradicción.