Fórmula para calcular el número de combinaciones de dados que dan como resultado un valor determinado

Question

Han pasado unos nueve años desde la última vez que realicé una formación matemática formal, y estoy luchando con la generación de curvas de probabilidad en R.

Lo que yo quiere es saber, para un conjunto de dados de un número arbitrario de d10, ¿cuántas combinaciones darán como resultado un valor determinado?

Al principio y al final del rango, esto es fácil de resolver ya que con 5d10, sólo hay una combinación que dará como resultado 5: todos los 1s. Para 6, un dado tiene que ser 2, así que hay cinco combinaciones. Que parte, no tengo problemas. Pero a medida que te adentras en el rango medio, el número de combinaciones posibles que pueden dar lugar a un total determinado aumenta exponencialmente. Debe haber algunos fórmula que me permita calcular esto. Llevo casi toda la tarde intentando calcularlo a partir de las páginas de la wikipedia, pero mi dominio de la jerga matemática es ya inexistente, así que estoy teniendo algunos problemas.

Si alguien tiene una fórmula en la que pueda introducir los números, sería fantástico.

Answer 1

Hay un truco para calcular esos números fácilmente usando polinomios. En el caso de 5 dados d10, toma el siguiente polinomio:

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10})^5 \; .$$

Calculando este polinomio, el coeficiente de $x^{20}$ por ejemplo, te dará cuántas combinaciones diferentes de 5 d10 dan una suma total de 20.

Answer 2

Suponga que tiene $n$ $10$ -dados con caras numeradas $1$ a través de $10$ y quieres el número de formas de hacer un total de $t$ . Si cada dado estuviera numerado desde $1$ a través de $t$ Esto sería una simple estrellas y barras problema, y la respuesta sería $$\binom{(t-n)+(n-1)}{n-1}=\binom{t-1}{n-1}.$$

Desgraciadamente, cada dado puede aportar como máximo $10$ al total, por lo que hay que restarle las vías que requieran una contribución mayor a $10$ de algún dado. Esto eliminará demasiado, ya que cada forma que requiere una contribución mayor que $10$ de dos Los dados se restarán dos veces. Esto, a su vez, supondrá una sobrecorrección, y necesitaremos otra corrección para las formas que son "malas" en tres dados. Este proceso de corrección de la sobrecorrección continúa hasta que lleguemos a una etapa en la que no podríamos haber tenido tantos dados 'malos'. Lo que se necesita aquí es la principio de inclusión-exclusión . Después de hacer todas estas correcciones, terminamos con

$$\sum_{k\ge 0} (-1)^k\binom{n}{k}\binom{t-1-11k}{n-1}$$

formas de hacer el total $t$ . Desde $\dbinom{n}{k}=0$ para $k>n$ , se trata en realidad de una suma finita. Además, un poco de álgebra muestra que $$\binom{t-1-11k}{n-1}=0\text{ for }k>\frac{t-n}{11},$$ por lo que la suma se puede tomar de $k=0$ a $k=\min\left\{n,\left\lfloor\dfrac{t-n}{11}\right\rfloor\right\}$ .

Probablemente no querrá calcular estos valores a mano, pero debería ser fácil escribir una pequeña rutina para hacerlo.

Answer 3

La respuesta que dio Raskolnikov es la función generadora del número de formas de sacar un total determinado. La multiplicación de polinomios convierte sus coeficientes en funciones de sus exponentes. Esto es justo lo que se necesita para calcular el número de formas de sacar un total dado. El polinomio para un $n$ El dado de la cara es $$ x\frac{x^n-1}{x-1} $$ Basta con multiplicar un polinomio de este tipo por cada $n$ -madre de la cara.