Sobre ZF, ¿"todo espacio de Hilbert tiene una base" implica AC?

Question

Sé que hay un resultado similar debido a Blass [1] según el cual sobre ZF, "todo espacio vectorial tiene una base (de Hamel)" implica AC. Sin embargo, buscando, no encuentro ningún resultado sobre la cuestión para espacios de Hilbert. Tampoco veo cómo generalizar la prueba de Blass a mi pregunta.

Para ser claro, lo que estoy preguntando es:

Pregunta Sobre ZF, ¿"todo espacio de Hilbert tiene una base" implica AC, donde un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno completo y una base para un espacio de Hilbert es un conjunto de elementos ortonormales cuya extensión es densa?

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[1] A. Blass, "Existence of bases implies the axiom of choice", Contempory Mathematics, Vol. 31, (1984).

Answer 1

Según el libro Albrecht Pietsch: Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales (Birkhäuser, 2007, DOI: 10.1007/978-0-8176-4596-0 ) es un problema abierto. (O al menos lo era en el momento de publicar el libro).

Cito de p.586 :

Enumeramos dos consecuencias más del axioma de elección, que ya se han tratado en 1.2.2 y 1.5.10, respectivamente:
$(\mathsf{B}_{\mathsf{alg}})$ Todo espacio lineal real o complejo tiene una base de Hamel.
$(\mathsf{B}_{\mathsf{orth}})$ Todo espacio de Hilbert real o complejo tiene una base ortonormal.

Se desconoce si $(\mathsf{B}_{\mathsf{alg}}) \overset{?}\Rightarrow (\mathsf{AC})$ o $(\mathsf{B}_{\mathsf{orth}}) \overset{?}\Rightarrow (\mathsf{AC})$ . Algunos resultados parciales fueron obtenidos por Bleicher [1964] y Halpern [1966]. Blass [1984, p. 31] demostró que el axioma de elección se deduce si suponemos que todo espacio lineal sobre un campo arbitrario tiene una base.

• J.D. Halpern [1966] Bases en espacios vectoriales y el axioma de elección, Proc. Amer. Math. Soc. 17, 670-673. DOI: 10.1090/S0002-9939-1966-0194340-1
• M.N. Bleicher [1964] Some theorems on vector spaces and the axiom of choice, Fund. Math. 54, 95-107. eudml , matwbn
• A. Blass [1984] Existence of basis implies the axiom of choice, Contemp. Math. 31, 31-33. sitio web del autor