Puntos de celosía enteros en una hiperesfera

Question

¿Es verdadera la siguiente afirmación?

Por cada entero$n\ge2$ y cada entero$k\ge0$ existe una hiperesfera en$\mathbb{R}^n$ (círculo, esfera, etc.) que contiene exactamente$k$ puntos de entramado de enteros en su superficie.

Answer 1

Sí, este parece ser el teorema de Kulikowski , ver:

T. Kulikowski Sur l'existence d'une sphère passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières. Enseignement Math. (2) 5 1959 89–90.

(el enlace Mathworld parece mencionar el caso$n=3$ solamente, pero de acuerdo con la revisión de MathScinet, el teorema está probado en todas las dimensiones).