¿Por qué el mapa de momentos en la geometría diferencial de las simetrías se llama "mapa de momentos"?
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Según el §1.3 y el §11.2 de Marsden y Ratiu [1994] (véase la cita detallada a continuación), el concepto de mapa de momento se remonta a Sophus Lie's libro de 1890, y es una traducción al inglés de las palabras francesas momento de la aplicación. Citando directamente a Marsden y Ratiu:
La noción de mapa de momentos (traducción al inglés de las palabras francesas "application moment") también tiene raíces que se remontan a los trabajos de Lie. Muchos autores utilizan las palabras "mapa de momentos" para lo que nosotros llamamos el "mapa de momentos mapa". En inglés, a diferencia del francés, no se utilizan las frases "linear momento lineal" o "momento angular de una partícula", y en consecuencia, preferimos preferimos utilizar "mapa de momentos". Daremos algunos comentarios sobre la historia de los mapas de momento en §11.2.
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Para una aclaración adicional, pregunté a Tudor Ratiu sobre los orígenes del término mapa de impulso. En un correo electrónico fechado el 8 de septiembre de 2016, dio una hermosa respuesta sobre la evolución de las ideas que condujeron al mapa de impulso moderno. Al final, hizo algunos comentarios sobre lo que hizo Sophus Lie. Aquí están los puntos principales de su correo electrónico, cuyo contenido se puede encontrar en su mayoría en las notas históricas proporcionadas en Marsden y Ratiu [1994]. Las referencias se dan al final.
(1) El mapa del momento es una generalización de las nociones habituales de momento lineal y angular de la física, que tienen una larga historia.
(2) La primera persona que introdujo la versión moderna del mapa de impulso fue Bertram Kostant en una conferencia en Japón. No le dio un nombre. Lo utilizó para demostrar lo que hoy se llama el "Kostant's teorema de cobertura simpléctica de Kostant .
(3) Sólo unas semanas después, Jean-Marie Souriau introdujo de forma independiente el mapa de impulso moderno. Lo denominó correctamente en francés momento de la aplicación. También se dio cuenta de su significado físico, y lo relacionó con el momento lineal y angular. Esto supuso un enorme avance.
(4) Marsden y Weinstein, en su famoso artículo de 1974 sobre reducción utilizaron el término mapa de momentos , que era su traducción de las palabras francesas momento de la solicitud . Esto tuvo una reacción inmediata por parte de Hans Duistermaat que señaló que esto es un nombre erróneo y físicamente incorrecto. De hecho, incluso la entrada de la wiki para momento , indica en la primera línea que no se debe confundir el momento con el impulso. Es análogo a confundir la fuerza con el momento lineal.
(5) Para una acción circular, el mapa de momento (sin nombre) fue introducido por Theodore Frankel en un artículo de los Annals en los años 50. Este artículo es famoso porque vincula la existencia de puntos fijos de la acción al carácter hamiltoniano de la acción. Esta parte de la historia no era conocida por Marsden y Ratiu cuando escribieron su libro, así que no se encontrará allí.
(6) Sophus Lie sabía mucho de geometría de Poisson y mucha gente lo considera ahora como el fundador de la geometría de Poisson. Sin embargo, Lie no introdujo la geometría simpléctica. El vínculo con la geometría simpléctica, las órbitas coadjuntas, etc. se debe a Kostant y Souriau. Véanse las notas históricas en Marsden y Ratiu [1994] para más detalles.
Referencias
Frankel, T. [1959]. Puntos fijos en las variedades de Kahler. Ann. Math. 70, 1–8.
Marsden, Jerrold E. y Ratiu, Tudor [1994]. Introducción a la mecánica y Simetría . Segunda edición, 1999. Segunda impresión actual, 2003. Nueva York, Springer-Verlag.
Kostant, B. [1966] Órbitas, estructuras simplécticas y teoría de la representación. Proc. US- Japan Seminar on Diff. Geom., Kyoto. Nippon Hyronsha, Tokio 77.
Ratiu, Tudor. Comunicación personal, 8 de septiembre de 2016.
Souriau, J.-M. [1970]. Structure des systèmes dynamiques, Maîtrises de mathématiques, Dunod, París, 1970. ISSN 0750-2435.
apiology
Puntos
1
Me cuesta entender del todo la pregunta, pero creo que la resolución podría ser pensar en los distintos modos como dimensiones espaciales diferentes. Recordemos que una partícula tridimensional en caja tiene tres números cuánticos ( $n_x$ , $n_y$ y $n_z$ ). En términos de contenido de información cuántica (a nivel lógico), ¿hay alguna diferencia entre un oscilador armónico 2D con un fotón dentro y un oscilador armónico 1D con dos fotones dentro? Creo que no la hay.
