Consecuencias de Gromov de la Conjetura

Question

En Peter Petersen palabras, Gromov Betti número estimado es considerado uno de los más profundos y más bellos resultados en la geometría de Riemann, que afirma que

Teorema (Gromov 1981). Hay una constante $C(n)$ tales que cualquier completar colector $(M, g)$ con $\sec\geq 0$ y para cualquier campo $\Bbb F$ de los coeficientes de cumple $$\sum_{i=0}^n b_i(M,\Bbb F)\leq C(n).$$ y conjeturó que la mejor cota superior de la es $C(n)=2^n$.

Quiero saber

¿Cuáles serían las consecuencias si Gromov límite superior Conjetura es verdadera? Serán los nuevos resultados ser diferente de la no exacta límite superior $C(n)$?

Answer 1

Como Igor mencionado conocer el óptimo obligado siempre es mejor que saber que una no es la óptima, tales como el obligado proporcionada por Gromov de la prueba. Que las normas de un montón de ejemplos más. Una prueba de la fuerte obligado también pudiera implicar una rigidez resultado que si la suma de los números de Betti es exactamente $2^n$ entonces $M$ es un toro. Esto es bastante fuera del alcance con el que actualmente se conoce obligado.

Conceptualmente más interesante es la relación de Gromov de la conjetura a varias otras conjeturas. La más fuerte de ellas es una conjetura de Bott que simplemente se conecta nonnegatively curva colector racionalmente es elíptica. Esto significa que el total de la suma de rangos de racional homotopy grupos es finito. Esto es válido para espacios homogéneos, por ejemplo. Racional ellipticity es muy fuerte condición. Ha sido ampliamente estudiado en racional homotopy teoría. En particular, implica que la suma de los racionales los números de Betti es en la mayoría de las $2^n$. Así Bott la conjetura implicaría Gromov la conjetura de más de $\mathbb Q$. Ellipticity de $M$ también implica que $\chi(M)\ge 0$. Así Bott la conjetura implica también Chern la conjetura de que una nonnegatively curva colector debe tener no negativo característica de Euler. Además, es conocido que un racionalmente elíptica espacio de $M$ ha $\chi(M)> 0$ fib de todos los impares números de Betti de $M$ se desvanecen. Este es también conjeturó pero no se sabe para los colectores de no negativo de la curvatura. Permítanme, por último, mencionar que Bott la conjetura es mucho más fuerte que Gromov de la conjetura. Por ejemplo, es fácil ver que conectado suma de al menos 3 copias de $\mathbb{CP}^n$ racionalmente es hiperbólico (es decir, no elíptica) por lo que no debería admitir que no negativos de la sección transversal de la curvatura de acuerdo a Bott de la conjetura. Por otro lado Gromov la conjetura no se descarta la conectado suma de $k$ copias de $\mathbb{CP}^n$ menos $k> \frac{2^{2n}-2}{n-1}$.