Me gustaría tener un contador de ejemplo que Peano del teorema no se aplica a los espacios con dimensión infinita

Question

Hace teorema de Peano se aplican a espacios con dimensión infinita? O es que hay un contraejemplo?

Aquí, de Peano es el teorema:

Deje $E$ ser un espacio de dimensión finita. Considere la posibilidad de un punto de $(t_0,x_0) \in \Re \times E$, constantes $ a, b > $ 0 y una función continua $$F: [t_0 - a, t_0 + a] \times B_b[x_0] \longrightarrow E$$ A continuación, para cada $ M> $ 0 satisfactoria $$\sup \{||F(t,x)||:(t,x) \in [t_0 - a, t_0 + a] \times B_b[x_0]\} < M$$ el problema de Cauchy $$x'(t)=F(t,x(t));\ \ x(t_0)=x_0$$ admite al menos una solución en el intervalo: $$\big[t_0 - \min(a,\frac{b}{M}),t_0 + \min(a,\frac{b}{M})\big] $$ Un infinito-dimensional contraejemplo sería de gran ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

No, de Peano teorema de existencia falla completamente en el infinito-dimensional espacios: hay contraejemplos en cada infinito-dimensional espacio de Banach. Este es un teorema de Godunov (A. N. Godunov, de Peano teorema en espacios de Banach, el Análisis Funcional y sus Aplicaciones 9 (1975), 53-55, http://dx.doi.org/10.1007/BF01078180), mientras que el primer contraejemplo en algún espacio de Banach fue debido a Dieudonné (J. Dieudonné, Deux exemples singuliers d'équations différentielles, el Acta de la lesión. De matemáticas. Szeged. 12:B (1950), 38-40; ver http://acta.fyx.hu/).

No es difícil ver que el finito-dimensional a prueba de falla (el punto débil es, en general, cuando Arzelà–Ascoli se aplica), pero todavía me resulta sorprendente que el teorema de falla así, ya que, ingenuamente, suena como que, obviamente, deben ser cierto.

Answer 2

Ya que tu pregunta se refiere a espacios de infinitas dimensiones, y no específicamente a los espacios de Banach, que podrían ser de interés para usted que los resultados son positivos para localmente convexo espacios. Todos estos en cierta medida se basan en el hecho de que, en general, de la lcs, en contraste con los espacios de Banach, (por ejemplo, en Montel espacios o reflexiva de espacios de Banach con la topología débil), uno puede tener grandes conjuntos compactos. El principio fundamental detrás de los resultados es que en la presencia de compacidad uno puede emplear el finito dimensionales caso por la reducción a proyectivas de los límites de los espectros de los limitados espacios dimensionales. Una posible referencia es el Studia Matemáticas. el papel de K. Astala "En Peano del teorema localmente convexo espacios, 73 (1982), 214-223.

Answer 3

Aunque la respuesta de Henry Cohn es grande, permítanme mencionar que Peano del teorema de falla en un contexto mucho más amplio sentido, como se muestra en

B. M. Garay, la Eliminación de Homeomorphisms y el Fracaso de Peano del Teorema de Existencia de Infinitas Dimensiones de los Espacios de Banach, Funkcialaj Ekvacioj, 34 (1991), 85--93