Los ideales del anillo de las funciones lisas

Question

El anillo de $C^\infty(M)$ de las funciones lisas en un suave colector $M$ es topológico, anillo con respecto a la Whitney de la topología y de la costumbre anillo de operaciones. Es posible describir, tal vez bajo algunas condiciones en $M$, los ideales y el cerrado de los ideales de la $C^\infty(M)$?

Answer 1

En 1948 Whitney demostró su ideal (espectral) teorema [1] describe el cerrado ideales

Deje $M$ ser $n$-dimensiones múltiples. para cada punto de $p \in M$ y cada natural $k$ definimos $N(k)$ a ser el número de la (a $n$) tuplas $m$ tal que $|m| \leq k$. Definir el mapa de $J_p^k: C^\infty(M) \rightarrow \mathbb{R}^{N(k)}$ asignando a $f$ la $m$-chorros de $f$ a $p$ a a $|m|=k$.

Si $I$ es un ideal de $C^\infty(M)$, a continuación, su cierre es el ideal de las funciones de $f$ tal que para cada una de las $p$ en $M$ e $k \geq 0$ entonces $J^k_p f \in J^k_p(I)$.

Así que, en cierto sentido, el cerrado los ideales son como las $I_\infty$ en el de Neil respuesta.

[1] H. Whitney. En los ideales de funciones diferenciables. Revista americana de Matemáticas. Vol. 70, Nº 3, pp 635-658 (1948)

Answer 2

Aquí están algunos ejemplos, para el caso de $M=\mathbb{R}$.

Para cada una de las $n\geq 0$ hemos cerrado ideal $$ I_n=\{f: f^{(i)}(0)=0 \text{ for } 0\leq i < n\} $$ Podemos escribir $I_\infty$ por la intersección de estas, que es de nuevo cerrada. También podemos poner $$ J = \{ f : f(x)=0 \text{ for all } x \leq 0\} $$ y tenga en cuenta que este es cerrado y que figuran en el $I_\infty$.

Siguiente, para $n,a>0$ con $n\in\mathbb{Z}$ podemos dejar $K_{n,a}$ ser el principal ideal generado por la función de $\exp(-a/x^{2n})$. Estos son todos diferentes y que figuran en el $I_\infty$. No estoy seguro de si están cerradas.

Para otro tipo de ejemplo, vamos a $\mathcal{U}$ libre de ultrafilter en $\mathbb{R}$ y poner $$ L = \{f : f^{-1}\{0\} \in \mathcal{U} \}. $$ Este es un no-cerrada ideal maximal.

ACTUALIZACIÓN:

Ahora vamos a $A$ ser una cerrada arbitraria ideal en $C^\infty(\mathbb{R})$. Poner $$ X_n = \{ x\in\mathbb{R} : f^{(i)}(x)=0 \text{ for all } i \leq n \text{ and } f\in A\}. $$ La especialidad de Reimundo la respuesta para el caso de $M=\mathbb{R}$, vemos que $$ A = \{ f : f^{(i)}=0 \text{ on } X_n \text{ for all } i\leq n \}. $$ Los conjuntos de $X_n$ están cerrados, con $X_n\supseteq X_{n+1}$. Por otra parte, si $x$ es un no-aislado punto de $X_n$ (así es en el cierre de $X_n\setminus\{x\}$), entonces es fácil ver que $x\in X_{n+1}$. Me imagino que el cerrado ideales biject con cadenas de subconjuntos con estas propiedades, pero no he tratado de demostrar que.