Un sistema de ecuaciones con 5 variables

Question

Encontrar los números reales $a, b, c, d, e$ $[-2, 2]$ que simultáneamente satify las siguientes relaciones:

$$a+b+c+d+e=0$$ $$a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0$$ $$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=10$$

Supongo que la clave está relacionado con un trigonométricas sustitución, pero no está seguro de qué tipo de sustitución, o se trata de otra cosa.

Answer 1

Las incógnitas $a,b,c,d,e$ son para ser real y en el intervalo de $[-2,2]$. Esto pide a gritos que la sustitución de $a=2\cos\phi_1$, $b=2\cos\phi_2$, $\ldots, e=2\cos\phi_5$ con algunos ángulos desconocidos $\phi_j,j=1,2,3,4,5$ a realizarse. Vamos a usar las ecuaciones $2\cos\phi_j=e^{i\phi_j}+e^{-i\phi_j}$, $j=1,2,3,4,5$. Ahora $$ 0=a+b+c+d+e=\sum_{j=1}^5(e^{i\phi_j}+e^{-i\phi_j}), $$ El uso de esto en la segunda ecuación nos da $$ 0=a^3+b^3+c^3+d^3+b^3=\sum_{j=1}^5(e^{3i\phi_j}+3e^{i\phi_j}+3e^{-i\phi_j}+e^{-3i\phi_j}) =\sum_{j=1}^5(e^{3i\phi_j}+e^{-3i\phi_j}). $$ El uso de estos en la última ecuación nos da $$ \begin{align} 10=a^5+b^5+c^5+d^5+e^5&=\sum_{j=1}^5(e^{5i\phi_j}+5e^{3i\phi_j}+10e^{i\phi_j}+10e^{-i\phi_j}+5e^{-3i\phi_j}+e^{-5i\phi_j})\\ &=\sum_{j=1}^5(e^{5i\phi_j}+e^{-5i\phi_j})=\sum_{j=1}^5(2\cos5\phi_j). \end{align} $$ Esto es equivalente a $$ \sum_{j=1}^5\cos5\phi_j=5. $$ Cuando sabemos que la suma de cinco cosenos es igual a cinco, ciertas deducciones se pueden hacer :-)

Esto demuestra que hay 5 posibles valores para todas las cinco incógnitas, a saber, $2\cos(2k\pi/5)$ $k=0,1,2,3,4$ (bueno, el coseno es una función par, por lo que hay sólo tres!). Tenemos una solución mediante el uso de cada valor de $k$ exactamente una vez, porque las dos primeras ecuaciones son satisfechos (familiar de uso de identidades que involucran raíces de la unidad). Puede haber otros, pero después de haber reducido el problema a un número finito de búsqueda, voy a salir de nuevo a la izquierda.

Answer 2

EDIT: como se señaló, esta solución no es válida ya que las respuestas son números complejos.

EDIT 2: en Realidad, esto no funciona, tomar el verdadero partes de todas las soluciones complejas

Realmente no puedo explicar por qué, pensaba hacerlo, pero funcionó, probablemente debido a que usted ha mencionado que se debe tener un trigonométricas solución.

Sabemos que la suma de las 5 de raíces de la unidad es 0, es decir, que $$ \sum_{k=0}^4e^{i2\pi k/5} =0. $$ ¿Qué sucede si tenemos en cuenta las competencias? Resulta que $$ \sum_{k=0}^4(e^{i2\pi k/5})^3 = 0 $$ (para ver esto, observe que $x\longmapsto x^3$ es un automorphism puesto que el orden del grupo es de 5), y $$ \sum_{k=0}^4(e^{i2\pi k/5})^5 = \sum_{k=0}^41 = 5. $$

con este conocimiento es simple; la escala de todas las variables por $2^{1/5}$. Tome $\{ 2^{1/5}e^{i2\pi k/5} \}_{k=0}^4$$a,b,c,d,e$.

Answer 3

Este es un largo sugerencia de una manera de empezar en lugar de una respuesta apropiada:

Si pones $a,b,c,d,e \text { as roots of a quintic polynomial } x^5-p_1x^4+p_2x^3-p_3x^2+p_4x-p_5=0$

$ \text {Noting that } p_1=0$ sustituto en los cinco valores y agregar las ecuaciones, usando $s_r$ para denotar la suma de los $r$th potencias de las raíces de obtener:

$$s_5-p_1s_4+p_2s_3-p_3s_2+p_4s_1-5p_5=0$$

Subsituting valores conocidos este se convierte en:

$$10-p_3s_2-5p_5=0$$

$0 \leq s_2 = a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \leq 20$

$p_3$ es la suma de los productos como los $abc$ - distintas de las raíces tomadas de tres a un tiempo.

$p_5 = abcde$

La restricción se sugiere el uso de las desigualdades a partir de este punto obligado de las posibilidades. [El hecho de que la pregunta se ha hecho a veces es demasiado sugerente, dependiendo de a quién se lo pedía]