¿Existe un teorema conocido$T$ en$ZF+DC$ (o$ZF$ o$ZFC$) tal que la única prueba que conocemos de$T$ es mediante el uso del LEM aplicado a $A$ ("$A$ o no$A$"), donde$A$ es independiente de$ZF+DC$?
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Otro ejemplo es: Mycielski demostró en 1964 bajo ZF que hay un$A \subseteq \omega_1^{\omega}$ tal que el juego de dos jugadores con pago establecido en$A$ no está determinado. La prueba usa que o el axioma de determinación falla, en cuyo caso esto es fácil, o el axioma de determinación es válido, en cuyo caso no hay inyección de$\omega_1$ en$\mathbb{R}$.
Vea el ejercicio 27.12 en Kanamori "The Higher Infinite" para una breve prueba.
apg
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1092
En este artículo de 1978 , Shelah y M. Rudin han demostrado que para cada$\kappa$ cardinal, existen$2^{2^{\kappa}}$ muchos ultrafiltros incompatibles con Rudin-Keisler en$\kappa$.
En el caso de que$2^{2^{\kappa}}>(2^{\kappa})^{+}$, el resultado se deriva del lema de conjunto libre. El caso en el que$2^{2^{\kappa}}=(2^{\kappa})^{+}$ ha sido probado por separado por Shelah.
