Demostrar que $\left|30240\int_{0}^{1}x(1-x)f(x)f'(x)dx\right|\le1$.

Question

Deje $f\in C^{3}[0,1]$tal que $f(0)=f'(0)=f(1)=0$ e $\big|f''' (x)\big|\le 1$.Demostrar que $$\left|30240\int_{0}^{1}x(1-x)f(x)f'(x)dx\right|\le1 .$$

Yo no podía hacer mucho progreso en este problema. Pensé que tal vez debería tratar de usar el polinomio de interpolación ya que tengo un límite para $|f'''|$, pero no puedo determinar la interpolación polinomial y estoy rápidamente atrapado (también existe el problema de que estoy tratando con tanto $f$ e $f'$ bajo la integral). Aparte de esto, creo que no hay mucho que podamos hacer, la solución probablemente se basa en esta técnica, pero no puedo hacer más progresos.

Answer 1

En primer lugar,

$$I=\int_0^1x(1-x)f(x)f'(x)\text{d}x \,\overset{IBP}{=\!=\!=}\,\frac12x(1-x)f^2(x)\bigg|_0^1+\frac12\int_0^1 (2x-1)f^2(x)\text{ d}x,$$ $$I=\frac12\int_0^1 (2x-1)f^2(x)\text{ d}x.\tag1$$

Las condiciones dadas significa que $f(x)$ tiene una raíz de multiplicidad $2$ en $x=0$ y una raíz simple de a $x=1.$

Teniendo en cuenta la Besou y teorema de la condición de $|f'''(x)|\le 1,$ uno puede conseguir $$|f(x)| \le a(x-0)^2(1-x) = a(x^2-x^3),\quad a\in\left(0,\frac16\right),\tag2$$

$$|I|\le\dfrac1{72}\int_0^1(2x-1)(x^2-x^3)^2\text{ d}x = \dfrac1{30240}.$$

$\color{green}{\textbf{EDIT of 12.08.20.}}$

Permítanos integrar el dado de la desigualdad $$-1\le f'''(x) \le 1\tag{1n}$$ bajo las condiciones dadas en el intervalo de $(0,x),$luego $$ \begin{cases} -x\le f''(x) - f''(0)\le x\\[4pt] -\frac12x^2 \le f'(x) - xf''\left(0\right) \le \frac12x^2\\[4pt] -\frac16x^3 \le f(x) - \frac12x^2f''\left(0\right) \le \frac16x^3._{\Large\mathstrut} \end{casos}\etiqueta{2n}$$

De $(2n.3)$debe $$|6f(x)-3f''(0)x^2| \le x^3,\quad -1\le -3f''(0)\le1,$$ $$6|f(x)|\le |x^3+ax^2|,\quad |a|\le 1,\quad f(1)=0,$$ $$6|f(x)|\le x^2-x^3 = h(x).$$

Esto confirma las fórmulas de $(2).$

Del mismo modo, de $(2n.2)$ $$|f'(x)| \le \frac12 x^2 -\frac13x = h'(x),$$ en $h'(x)$ está sincronizado con $h(x).$

Por lo tanto, $$|I| \le \left|\int_0^1 x(1-x) h(x) h'(x) \text{ d}x\right| = \frac1{30240}.$$

Answer 2

Sólo una idea $f(x)=\frac{g(x^2(1-x)^2)}{x(1-x)}$ tenemos :

$$f'(x)=-\frac{(2x-1)(2(x-1)^2x^2g'((x-1)^2x^2)-g((x-1)^2x^2))}{x^2(1-x)^2}$$

Por lo tanto tenemos :

$$f'(x)f(x)x(1-x)=-\frac{(2x-1)(2(x-1)^2x^2g'((x-1)^2x^2)-g((x-1)^2x^2))}{x^2(1-x)^2}x(1-x)\frac{g(x^2(1-x)^2)}{x(1-x)}$$

O :

$$f'(x)f(x)x(1-x)=-(2x-1)\Big(2g'((1-x)^2x^2)g((1-x)^2x^2)-\frac{g^2(x^2(1-x)^2)}{x^2(1-x)^2}\Big)$$

Ahora podemos integrar por partes, pero no puedo ir más lejos .

Actualización :

Como estoy atascado con la sustitución de arriba propongo otra :

Poner :

$$f(x)=g(\ln(x)-\ln(1-x))$$

Entonces :

$$f'(x)f(x)x(1-x)=g(\ln(x)-\ln(1-x))g'(\ln(x)-\ln(1-x))$$

Ahora podemos hacer la sustitución $y=\ln(x)-\ln(1-x)$ o $x=\frac{e^y}{e^y+1}$ en la integral . Otra sustitución y vemos que hay un vínculo con la transformada de Laplace .

Actualización 2:

Es realmente mi última idea sobre este problema .

Tenemos la condición :

$$|f'''(x)|\leq 1\quad (1)$$

pero :

$$1=(x+(1-x))^n$$

Así que podemos utilizar el teorema de binomios para ampliar los términos .

Ahora ponemos :

$$f(x)=\operatorname{B}_{i,n}(x)$$

Cuando hablamos de los polinomios de Bernstein .

Ver aquí (3.1) para la derivada de un polinomio de Bernstein

Sigue siendo para comparar las dos cantidades .

Si es realmente inútil voy a eliminar .

Espero que inspire a alguien .