Demostración del teorema de Krylov-Bogoliubov

Question

¿Dónde puedo encontrar una demostración (en inglés) del teorema de Krylov-Bogoliubov, que dice que si $X$ es un espacio métrico compacto y $T\colon X \to X$ es continua, entonces hay un $T$ -¿medida de probabilidad de Borel invariante? La única referencia que he visto está en el Wikipedia página, pero esa referencia es a una revista que no puedo encontrar.

Por supuesto, no dude en responder a esta pregunta aportando sus propias pruebas.

Answer 1

En primer lugar, arreglar $x \in X$ y que $\mu_1 := \delta_x$ sea la medida de Dirac soportada en $x$ . A continuación, defina una secuencia de medidas de probabilidad $\mu_n$ tal que para cualquier $f \in C^0 (X)$ , $$ \int_X f(y) \mathrm{d} \mu_n (y) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int_X f \circ T^k (y) \mathrm{d} \mu_1 (y). $$ Aplicar el Teorema de Banach-Alaouglu para deducir que existe una subsecuencia $\mu_{n_j}$ que converge en el débil- $\star$ topología. Entonces es muy fácil demostrar que esta medida límite es de hecho invariante de T, utilizando la formulación de que $\mu$ es T-invariante si y sólo si $$\int_X f \circ T \mathrm{d} \mu = \int_X f \mathrm{d}\mu$$ para todos los continuos $f$ .

Answer 2

Hay dos pruebas bastante sencillas. Ambas se basan en el estudio de la acción $T_* \colon \mathcal{M} \to \mathcal{M}$ , donde $\mathcal{M}$ es el espacio de medidas de probabilidad de Borel sobre $X$ y la acción viene dada por $(T_* \mu)(E) := \mu(T^{-1}(E))$ . Una medida $\mu$ es $T$ -si y sólo si $T_* \mu = \mu$ .

Una prueba es la que da Michael Coffey en su respuesta: empezar con cualquier medida $\mu$ no necesariamente invariable, como el $\delta$ -medida sentada en un punto arbitrario, y luego considerar la secuencia de medidas $\mu_n = \frac 1n \sum_{k=0}^{n-1} T^k_* \mu$ . Porque $\mathcal{M}$ es débil* compacto, alguna subsecuencia $\mu_{n_j}$ converge a una medida $\nu\in \mathcal{M}$ y no es difícil demostrar que $\nu$ es invariable.

Una prueba alternativa es observar que $\mathcal{M}$ es un subconjunto convexo compacto del espacio vectorial localmente convexo $C(X)^* $ y que $T_* $ actúa continuamente sobre $\mathcal{M}$ por lo que por el teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff tiene un punto fijo $\nu=T_* \nu$ .

Answer 3

Además de las excelentes respuestas anteriores, también sugiero la bonita encuesta Oxtoby, Conjuntos ergódicos .

Introducción . Los conjuntos ergódicos fueron introducidos por Kryloff y Bogoliouboff en 1937 en relación con su estudio de los sistemas dinámicos compactos [16]. El propósito de este artículo es revisar algunos de los trabajos que se han realizado desde entonces sobre la teoría que se centra en esta noción, y presentar una serie de observaciones complementarias, aplicaciones y simplificaciones. Para simplificar, limitaremos la atención a los sistemas de tiempo discreto. Los flujos continuos no presentan ninguna dificultad, pero el desarrollo de una teoría correspondiente para los grupos de transformación generales se encuentra todavía en una fase incompleta. Un ejemplo debido a Kolmogoroff (véase [5]) muestra que tal extensión no puede hacerse sin sacrificar la invariancia o la disyunción de los conjuntos ergódicos.

En los §§1 y 2 damos un desarrollo breve, pero autosuficiente, de los teoremas básicos de Kryloff y Bogoliouboff. En §3 recogemos algunos resultados auxiliares para su uso posterior. En §4 se obtiene una caracterización sencilla de los puntos transitivos. En §5 se discuten las propiedades distintivas de algunos tipos especiales de sistemas y subsistemas, y en §6 se utilizan estos resultados para descubrir las condiciones bajo las cuales el teorema ergódico se cumple uniformemente. En §7 se considera una generalización a sistemas no compactos, y en §§8 y 9 se obtienen algunos teoremas de representación conocidos como aplicación de los conjuntos ergódicos. En §10 se da un ejemplo de un conjunto mínimo que no es estrictamente ergódico, similar a uno construido por Markoff.

Answer 4

Puedes ver el famoso libro de Peter Walter:An introduction to ergodic theory, Páginas 151-152

Answer 5

Entonces el teorema tampoco se cumple. Tomemos $X = \mathbb{R}$ y $T\colon x \mapsto x+1$ . Entonces $T$ no tiene una medida de probabilidad invariable. (todas las medidas "escapan al infinito").