Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial infinito sobre un campo $K$ . Entonces se sabe que $\dim V < \dim V^*$ . Más precisamente, por un resultado atribuido a Kaplansky y Erdos, tenemos $\dim V^* = |K|^{\dim V}$ .
No he visto una construcción real de una base de $V^*$ . Mi pregunta es: dada una base $B$ de $V$ ¿existe una descripción explícita de una base de $V^*$ en términos de $B$ ? ¿Puede hacer esto al menos en el caso de que $\dim V$ ¿es contable?
Es coherente con los axiomas de $\sf ZF$ que esto es imposible. En concreto, si se considera $\Bbb R[x]$ entonces su espacio dual es simplemente $\Bbb{R^N}$ . Y es coherente con $\sf ZF$ que $\Bbb{R^N}$ no tiene una base Hamel.
(Bajo $\sf ZF+DC$ si todos los conjuntos son medibles por Lebesgue, o tienen la propiedad Baire, entonces todo homomorfismo de grupo entre grupos polacos es continuo. De ello se deduce que si $\Bbb{R^N}$ tiene una base, entonces hay un funcional discontinuo de $\Bbb{R^N}$ a $\Bbb R$ simplemente por argumentos de cardinalidad. Y por lo tanto tales teorías demuestran que $\Bbb{R^N}$ no tiene una base Hamel).
De ello se desprende que no hay forma explícita de especificar cómo se obtiene una base del espacio dual. Hay que apelar al lema de Zorn.
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$K^B$ (mapas de $B$ a $K$ ).
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No se puede hacer esto "explícitamente": se requiere alguna forma del axioma de elección.