¿Qué funciones tienen todas las derivadas positivas en todas partes?

Question

Considere la clase de funciones de$\mathbb R$ a$\mathbb R$, de modo que la función sea positiva en todas partes y su$n$ th derivada sea positiva en todas partes para todos$n$.

Los únicos ejemplos que puedo construir son las funciones$ae^{bx}+c$ para$a,b,c>0$.

¿Son estas funciones los únicos ejemplos?

Si no es así, ¿para qué funciones no lineales$g$$e^{g(x)}$ tiene esta propiedad?

Answer 1

Ver completamente monótono en la literatura. La función$f(x)$ es completamente monótona si y solo si$f(-x)$ es el tipo de función que estás buscando.

SN Bernstein (1928). "Sur les fonctions absolument monotones". Acta Mathematica 52: 1–66. doi: 10.1007 / BF02592679.

http://mathworld.wolfram.com/CompletelyMonotonicFunction.html

Answer 2

Bueno, ciertamente hay más. Si observa la regla de la cadena, verá que la derivada$n$ - ésima es una combinación lineal de productos de derivadas de las dos funciones que compone con coeficientes positivos. Por lo tanto, si tiene dos funciones con su propiedad, entonces su composición volverá a tener solo derivadas positivas. Entonces puedes continuar ...

Answer 3

Si$f(x)$ es una función con derivadas positivas, entonces la función$f(-x)$ es completamente monótona. Las funciones completamente monótonas están clasificadas por el teorema de Bochner; véase la pregunta de Nimza sobre la generalización del teorema de Bernstein sobre funciones monótonas .