Hay una razón por la que es tan rara que podemos resolver ecuaciones diferenciales?

Question

Hablando acerca de TODAS las ecuaciones diferenciales, es extremadamente raro de encontrar soluciones analíticas. Además, simple de ecuaciones diferenciales hecho de funciones básicas por lo general tienden a tener ridículamente complicadas soluciones o que no tenga solución. ¿Hay algo más profundo razonamiento detrás de por qué es tan raro encontrar soluciones? O es sólo que cada vez que podemos resolver ecuaciones diferenciales, es sólo una expresión algebraica coincidencia?

He revisado los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales y no encontrar ninguna pista. No obstante, quizá la respuesta se puede encontrar entre estos?

Un enorme gracias a cualquier persona dispuesta a ayudar!

Answer 1

Vamos a considerar el siguiente, muy simple, la ecuación diferencial: $f'(x) = g(x)$, donde $g(x)$ es alguna función determinada. La solución es, por supuesto, $f(x) = \int g(x) dx$, por lo que para este específico ecuación de la pregunta que te estás preguntando reduce a la pregunta de "que las funciones simples han simple antiderivatives". Algunos ejemplos famosos (como $g(x) = e^{-x^2}$) muestran que incluso el simple aspecto expresiones pueden tener antiderivatives que no puede ser expresado en una simple forma.

Hay un teorema de Liouville, que pone el de arriba en un ajuste preciso: https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra). Para obtener más general de las ecuaciones diferenciales que usted podría estar interesado en el diferencial de la teoría de Galois.

Answer 2

Comparar Diferencial de las Ecuaciones de Ecuaciones Polinómicas. Ecuaciones polinómicas son, sin duda, mucho, mucho más simple. El espacio de la solución es menor, y las operaciones fundamentales que construyen las ecuaciones (multiplicación, suma y resta) son extremadamente simple y se entiende bien. Sin embargo (y que incluso podemos probar esto!) hay Ecuaciones Polinómicas para los que no podemos encontrar una solución analítica. De esta manera - creo que no es ninguna sorpresa que no podemos encontrar agradable soluciones analíticas para casi todas las Ecuaciones Diferenciales. Sería un shock si pudiéramos!

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Edit: de hecho, los usuarios de @Winther y @martin luther king señaló que las Ecuaciones Polinómicas son en realidad "incrustado" en un muy pequeño apartado de Ecuaciones Diferenciales. Es decir, Lineal Homogénea de coeficientes Constantes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, que toman la forma

$${c_ny^{(n)}(x) + c_{n-1}y^{(n-1)}(x) + ... + c_1y^{(1)}(x) + c_0y(x) = 0}$$

La solución a tales una ODA, de hecho, se utilizan las raíces del polinomio:

$${c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + ... + c_1x + c_0 = 0}$$

El punto es que las Ecuaciones Diferenciales de este formulario son claramente una teeny tiny pequeño apartado de todas las posibles Ecuaciones Diferenciales - demostrando que tanto el espacio de la solución de Ecuaciones Diferenciales es "mucho, mucho más grande" que el de Ecuaciones Polinómicas y ya, incluso para un pequeño apartado - comenzamos a lucha (desde cualquier Ecuación Polinómica no podemos resolver analíticamente se corresponden a una ODA que estamos obligados a (a) aproximar la raíz y el uso de ella, o (b) dejar la raíz en forma simbólica!)

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Otra cosa a tener en cuenta es que la resolución de las ecuaciones en Matemáticas es, en general, no de una agradable y fácil proceso mecánico. La mayoría de las ecuaciones se puede resolver normalmente requieren métodos a ser construido sobre la base de la explotación de algunos hermosos, ingenioso truco. Volviendo a Ecuaciones Polinómicas - la Fórmula Cuadrática viene de completar el cuadrado! Completando el cuadrado es sólo un ingenioso truco, y por su uso en un caso general, hemos construido una fórmula. Cosas similares suceden en Ecuaciones Diferenciales - usted puede encontrar una solución mediante un agradable ingenioso truco, y luego aplicar este truco para algún caso general. No es como si estos métodos o fórmulas que vienen de la nada - no es un proceso fácil!

La última cosa a mencionar en lo que respecta específicamente a las Ecuaciones Diferenciales - como los Matemáticos, que sólo tratamos con un muy pequeño subconjunto de todas las posibles Funciones de análisis sobre una base regular. ${\sin(x),\cos(x),e^x,x^2}$... todo muy bien Funciones de análisis que hemos dado a los símbolos. Pero esta es sólo una pequeña lista! Habrá un todopoderoso, infinito número de posibles Funciones de análisis de afuera - por lo que es nuevo no es sorpresa que la solución a una Ecuación Diferencial no puede ser capaz de volver a escribir bien en términos de nuestro pequeño, patético lista.

Answer 3

Funciones computables son Raros

En el momento de definir los problemas matemáticos, se suele expresar en términos de funciones elementales, pero ciertamente computable funciones, porque esos son los únicos que saben cómo escribir en el espacio finito!

Debido a que nuestro cerebro sólo puede explícitamente conceptualizar las funciones computables, tenemos una tendencia innata hacia el pensamiento acerca de estas funciones, y dándoles una centralidad en el mundo de los números. Cuando usted lea acerca de diagonalización, es tentador pensar: "No computable números son una molestia para construir! Seguramente debe ser raro!" Pero la realidad es que las funciones computables son infinitamente especies en peligro de extinción! Sólo hay $\aleph_0$ tales funciones, pero al menos $\mathfrak c$ no-funciones computables.

Hay muchas maneras de ir desde un computable número o la función a un no-computable uno (diagonalización de ser un ejemplo bien conocido, y de la suspensión Problema es otro), pero me sorprendería si alguien sabe el nombre de "natural" problema que comienza con un no-computable de función/número y cuya solución es computable (y por "natural", me refiero a uno que no está específicamente concebido para hacer esto).

Una ecuación que define la intersección de dos funciones. Si usted toma dos funciones arbitrarias, ¿cuáles son las probabilidades de que esas funciones se cruzan en uno de los infinitesimalmente probable contable funciones? Esta es la razón por la que los matemáticos se sorprendió cuando el resultado de una agradable forma cerrada. Por lo general, sólo trivial problemas tienen esta propiedad.

Los nombres no Guardar

Por supuesto, no es este negocio de decidir qué es una "función primaria" o una "solución analítica". La respuesta es: "no importa." Esas preguntas son totalmente irrelevantes. Elija cualquier conjunto finito de problemas que te gusta. Nos deja asignar nombres a las soluciones de los problemas, independientemente de si son computables o no. Ahora, hemos ampliado considerablemente el ámbito de las "funciones elementales". Impresionante!!! Incluso hicimos algo increíble...que hemos añadido algunos no-funciones computables, que realmente debería ramp-up de nuestro resolver el problema del poder, derecho? Bueno, a menos que tengas extraordinariamente afortunado, yo apostaría en contra de ella.

Un arbitrario no computable función es basura. Es menos que nada. Si bien es una solución a infinidad de problemas, y por lo tanto amplía su capacidad para escribir "la forma cerrada de soluciones" por un factor de al menos $\aleph_0$, yo apuesto, es también no la solución (o pertinente) para una mayor infinidad de problemas. Estos problemas requieren diferentes no funciones computables que los que te nombre.

Ok, ok...voy a dejar engañar. Voy a dejar de abrir la caja de herramientas y añadir algunas funciones más. Yo no he dicho lo que se podría añadir, antes, sólo que tenían que ser finitos en número. Se podría haber añadido un googol funciones, no me importa. Esta vez, voy a ser muy generoso. Voy a dejar de agregar un infinito número de no-funciones computables, a $\aleph_0$ de ellos!

Seguramente ahora ya podemos escribir bonito "algebraica" soluciones para la mayoría de los problemas, dado que hemos reforzado nuestra caja de herramientas por un factor de infinity! Pero, lamentablemente, no. Nuestro infinito no es casi lo suficientemente grande. No importa lo inteligente que se fueron en la recogida de la no-funciones computables, todavía hay infinitamente muchos problemas cuya solución requiere de un no-computable en función de que usted no elige.

Sabes qué? Me siento generoso. Me siento mal, porque quieres matemáticas para ser agradable y hermoso, y hasta ahora, sólo se ve como un gran lío. Nos trató de imponer el orden por el nombramiento de un montón de soluciones que no tienen nombres antes. Y como el tiempo que permanece bajo la $\aleph_0$ umbral, podemos asignar finito nombres a nuestra "Aumentada de las Funciones Algebraicas caja de herramientas". Voy a hacer un último favor. Voy a dejar de agregar como muchos no-funciones computables como usted desea! Esto debería solucionar este problema de una vez por todas, ¿verdad?

Bien, no. Ahora hemos traspasado sólo un problema por otro. Si sólo tenemos que añadir todas las funciones $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ a nuestra caja de herramientas, hemos hecho la captura de una verdadera mente-flexión de número de funciones, incluyendo más no-computable funciones que usted puede sacudir un palillo en! Pero el problema ahora es que no podemos nombre de ellos! Quiero decir, se puede el nombre de ellos. Los podemos poner en una correspondencia uno a uno con los reales. Pero, desafortunadamente, eso significa que no podemos escribir más de ellos! Los únicos que podemos escribir son las que tienen un número finito de representación...y sólo hay $\aleph_0$ de los... D'oh!

Y si tenemos que ser prácticos, nadie va a leer un papel que utiliza "funciones elementales" con nombres que son 100 caracteres. Probablemente 100 "funciones elementales" está empujando a la paciencia de la mayoría de los matemáticos. Por desgracia, $100 \lll \aleph_0 \lll \mathfrak c$. Y así sigue...

Answer 4

Creo que tener una especie de golpe en la cabeza cuando dices que cada vez que podemos resolver una ecuación diferencial, es una expresión algebraica coincidencia. Simplemente no hay una buena razón por la que un azar ecuación tiene una solución, y mucho menos de un agradable o básica.

El pensamiento puede venir como resultado de haber sido enseñado, en la escuela o temprano nivel de pregrado, ciertos métodos que son útiles para la resolución de las ecuaciones de forma explícita. Pero estos son los métodos que sólo son aplicables cuando las ecuaciones son ya recogidas a mano para ser susceptibles de esos métodos.

Answer 5

Creo que una analogía con las ciencias de la computación puede proporcionar una idea.

No son extremadamente simples programas que producen soluciones de extraordinaria complejidad. La famosa Regla de los 30 en los autómatas celulares es el primer ejemplo: Con un puñado de bytes, uno puede escribir un determinista programa cuya salida es "tan complejo como sea posible", es decir, se pasa todas las medidas de aleatoriedad. (Esto es realmente increíble, para pensar en ello.)

Sí, por supuesto que hay programas de ordenador que producen simple salidas, pero si contamos sólo los programas que producen distintos resultados como propios distintos, entonces este número de gotas. Entender este hecho en términos de la complejidad de Kolmogorov.

Como para las matemáticas, creo que parte del problema está en la finitud de las funciones de base que aceptamos como "soluciones"... polinomios, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones especiales, etc. Hay sólo unos pocos de estos. Si tuviéramos que definir por fiat nuevo "funciones especiales" que fueron las soluciones a algunos de los actuales (duro) ecuaciones diferenciales, podríamos pensar que hay menos "sin resolver" ecuaciones.