El cono de positivo semidefinite matrices es la auto-dual? (referencia es necesario)

Question

Estoy buscando una referencia para el siguiente hecho.

El cono de positivo semidefinite matrices es la auto-dual (un.k.una. auto-polar).

Este resultado es relativamente fácil de probar, ha sido conocido por mucho tiempo, y es fundamental para cosas como semidefinite de programación. Idealmente, me gustaría una referencia que refleja todas las tres de estas propiedades. Por desgracia, las propiedades que hacen que sea difícil encontrar una buena referencia para citar. (Muchas fuentes que yo he mirado considerar este resultado elemental y conocido lo suficiente como para, simplemente, de un estado sin prueba o referencia. Que ese fue mi plan, pero el árbitro está ahora pidiendo una referencia, y viendo cómo nuestro papel está fuera de la teoría de la optimización, yo creo que es probablemente razonable.)

Por cierto, este resultado es en ocasiones se conoce como Fejer Trace del Teorema, aunque nunca he encontrado una referencia a cualquier publicación de Fejer. Así que si alguien sabe el origen de esta atribución, que sería interesante.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Estoy bastante seguro de que Boyd optimización convexa (disponible en su página web como un archivo pdf) habla sobre esto (sí: ejemplo 2.24)

Answer 2

Tal vez la sección de Notas del libro clásico: Análisis simétrico de los conos es de ayuda.

En particular, se menciona que el siguiente trabajo de Koecher inició el estudio de conos simétricos. Todavía no he leído este documento, así que no puedo decir si fue este trabajo el que se describe la auto-dualidad resultado que usted menciona. Pero espero que la sección de Notas mencionado anteriormente hace dar algunas pistas.

M. Koecher (1957). Positivitätsbereiche en $R^n$. Amer J. Math., 79.

Answer 3

Yo sé que están buscando una referencia y usted probablemente sabe cómo demostrarlo (y que el post es viejo). Sin embargo, quiero incluir un breve formulario de la prueba para los que vienen a el post por esta razón.

Tenga en cuenta que

$$\def\<{\langle}\def\>{\rangle}\DeclareMathOperator{\tr}{tr} \<X,Y\>=\tr(XY)=\sum_{i,j=1}^n\lambda_i^X \lambda_j^Y\<v_i^X,v_j^Y\>^2,$$

donde $\lambda_i^X$ es el $i$-ésimo valor propio de $X$ correspondiente a la (normalizado) autovector $v_i^X$ (y, equivalentemente, para $Y$). Considere los vectores propios para ser elegido como un ortonormales sistema. A partir de esto, es fácil ver $\<X,Y\>\ge 0$ positiva semi-definida matrices $X$ e $Y$. Sin embargo, si por ejemplo, $X$ no es positiva semi-definida, pero tiene un autovalor negativo, decir $\lambda_1^X<0$, entonces podemos elegir

$$Y := v_1^X (v_1^X)^\top \in \mathbf S^n_+.$$

Esto le da a $\<X,Y\><0$. Y esto es exactamente lo que demuestra que $\mathbf S^n_+$ es auto-dual:

$$X\in\mathbf S^n_+ \qquad\Longleftrightarrow \qquad \<X,Y\>\ge 0\text{ for all $S\in\mathbf S^n_+$}.$$