¿Por qué precisamente yo?

Question

Encuentra todas las soluciones reales para:

<span class="math-container">$$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$$</span>

¿Puede confirmar la siguiente solución? No entiendo la línea 3. ¿Por qué debería ser <span class="math-container">%-%-%</span>?

Gracias.

<span class="math-container">$$ \begin{align} x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}} &= 6 \ x^3 &= 6+ \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}} \ x &= \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}} \ \sqrt[3]{6+x} &= x \ x^3 &= 6+x \ x^3-2x^2+2x^2-4x+3x-6 &= 0 \ (x-2)(x^2+2x+3) &= 0 \ x &= 2 \end----------------------------------------------------------------------- $$</span>

Answer 1

Comience como en OP <span class="math-container">$\begin{align} x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}} &= 6 \tag{1}\ x^3 &= 6+ \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}} \tag{2}\ x &= \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}} \tag{3} \end------------------------------------------------------------------------------------------------------------</span>

El ajuste <span class="math-container">%-%-%</span>, la ecuación <span class="math-container">%-%-%</span> reescribe <span class="math-container">%-%-%%-%-(1)%-%-%t-x.$</span>

Answer 2

Así que la ecuación es la siguiente <span class="math-container">$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+x}}}$$</span> Tenga en cuenta que cuando se vuelve a colocar de nuevo <span class="math-container">$x$</span> en la RHS, se obtiene la siguiente suma infinita. <span class="math-container">$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+{\cdots}}}}}}}$$</span> Desde aquí, puede reemplazar la parte de la primera raíz del cubo con <span class="math-container">%-%-%</span> para obtener <span class="math-container">$x$$</span>