Partes enteras de los múltiplos de irrationals

Question

Deje $\alpha>0$ y definir $$S(\alpha)=\big\{\lfloor n \alpha \rfloor: n\in\Bbb Z^+ \big\}.$$ Here $\lfloor x\rfloor$ is the integer part of $x$ and $\mathbb Z^+$ el conjunto de enteros positivos.

Pregunta. Es posible encontrar la $\alpha,\beta,\gamma>0$, de tal manera que

$$ S(\alpha)\cap S(\beta)= S(\beta) \cap S(\gamma) =S(\alpha)\cap S(\gamma) = \varnothing\text{?} $$

Es bien sabido que el siguiente tiene $$ S(\alpha)\cap S(\beta)=\varnothing\quad\,\text{y}\,\quad S(\alpha)\cup S(\beta)=\mathbb Z^+ $$ si y sólo si $\alpha$ $\beta$ son irracionales (y positivo) y $\,\,\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1$.

Actualización 1. De acuerdo a un Putnam 1995 examen de la cuestión, no hay $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ para los que $S(\alpha)$, $S(\beta)$ y $S(\gamma)$ forma una partición de $\mathbb Z^+$.

Update 2. El siguiente resultado se tiene:

$S(\alpha)\cap S(\beta)=\varnothing$ si y sólo $\alpha,\beta$ son irracionales y si existen enteros positivos $m,n$, de tal manera que $$ \frac{m}{\alpha}+\frac{n}{\beta}=1. $$

Este es el Teorema de 8 en: Th. Skolem, En algunas distribuciones de números enteros en pares, con vista de las diferencias, de las Matemáticas. Scand., 5 (1957) 57-68.

Answer 1

Utilizando el conocido hecho, vemos que $S(\alpha)\cap S(\beta) = \varnothing $ Si tenemos $$\frac{k}{\alpha}+\frac{l}{\beta} =1 $$ para algunos enteros positivos $k, l$

Por el contrario, hacemos uso del teorema de Kronecker ( Si $1$, $\alpha$ y $\beta$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ entonces el conjunto $\{((n\alpha), (n\beta)) : n \in \mathbb{Z}^{+}\}$ es denso en $[0,1]^2$) , y un análisis detallado en caso de que cuando ellos son linealmente dependientes sobre racionales, obtenemos que la condición anterior para $\alpha$ $\beta$ es, de hecho, tiene al $S(\alpha)\cap S(\beta)=\varnothing$.

Por otro lado, desde el enlace de arriba también podemos deducir que si $\alpha$ racional, a continuación,$S(\alpha)\cap S(\beta)\neq \varnothing$, independientemente $\beta$.

Por lo tanto, tenemos

(Teorema de) $S(\alpha)\cap S(\beta) = \varnothing $ si y sólo si $\alpha$ $\beta$ son números irracionales satisfacer $$\frac{k}{\alpha}+\frac{l}{\beta} =1 $$ para algunos enteros positivos $k, l$

Si $S(\alpha)\cap S( \beta)=\varnothing$, e $S(\beta)\cap S(\gamma)=\varnothing$, luego existen enteros positivos $k_1, k_2, k_3, k_4$ tal que $$\frac{k_1}{\alpha}+\frac{k_2}{\beta}=\frac{k_3}{\beta}+\frac{k_4}{\gamma}=1$$

Si $k_2\neq k_3$, luego tenemos $$\frac{k_1k_3}{\alpha}-\frac{k_2k_4}{\gamma}=k_3-k_2$$ En este caso, $S(\alpha)\cap S(\gamma)\neq \varnothing$.

Si $k_2=k_3$, luego tenemos $$\frac{k_1}{\alpha}=\frac{k_4}{\gamma}$$ Este caso también, $S(\alpha)\cap S(\gamma)\neq \varnothing$.

Por lo tanto, hemos demostrado que para los números reales $\alpha, \beta$$\gamma$, $$ S(\alpha)\cap S(\beta)= S(\beta) \cap S(\gamma) =S(\alpha)\cap S(\gamma) = \varnothing $$ es imposible.