¿El functor Sch Arriba tienen derecho adjuntos?

Question

Deje $S$ ser un esquema, vamos a $T$ ser $S$-esquema, y deje $M$ ser un conjunto. Deje $M_{S}$ ser distinto de la unión de $M$ copias de $S$, considerado como un $S$-esquema. (La notación de [SGA 3, Exp. I, 1.8].) A continuación, $S$- esquema de morfismos $T \to M_{S}$ corresponden a localmente constante de las funciones de $T \to M$, es decir, funciones continuas $T \to M$ donde $M$ es dada la topología discreta. El functor $G_{0} : \operatorname{Set} \to \operatorname{Sch}/S$ envío de $M \mapsto M_{S}$ es una especie de "parcial derecho adjuntos" para el functor $F : \operatorname{Sch}/S \to \operatorname{Top}$ envío de $(T,\mathscr{O}_{T}) \mapsto T$, es decir, tomando el subyacente topológica del espacio de la $S$-esquema.

Puede el functor $G_{0}$ ampliarse a un derecho adjoint $G : \operatorname{Top} \to \operatorname{Sch}/S$ de %de$F$?

Mi ingenua suposición es tomar un espacio topológico $X$, dar $X_{S} := S \times X$ el producto de la topología y de establecer $\mathscr{O}_{X_{S}} := \pi^{-1}(\mathscr{O}_{S})$ donde $\pi : X_{S} \to S$ es la proyección. A continuación, $(X_{S},\mathscr{O}_{X_{S}})$ es de hecho un localmente anillado espacio y le da a la construcción habitual de al $X$ es un espacio discreto, pero en general no es un esquema. Considere la posibilidad de $S = \operatorname{Spec} k$ e $X = \{x_{1},x_{2}\}$ dos puntos a la del conjunto con la topología trivial; entonces la única subconjuntos de $X_{S}$ como se definió anteriormente se $\emptyset$ e $X_{S}$, con lo que se $X_{S}$ no es ni siquiera un sobrio espacio.

Lo que si puedo restringir la categoría de destino de $F$ a la categoría de sobrio espacios?

El producto de sobrio espacios es sobrio, por lo que no es inmediatamente claro para mí si el de la construcción de falla.

Answer 1

Otra forma de ver que el functor $\mathrm{Sch} \to \mathrm{Top}$ no es una izquierda adjunto es para ver que no preservar colimits. En este MO respuesta, Laurent Moret-Bailley da un ejemplo de un par de flechas $Z \rightrightarrows X$ en $\mathrm{Sch}$, de tal manera que la canónica mapa de $X$ a la coequalizer $Y$ no es surjective (como una función entre los conjuntos de puntos de la base de espacios). Ya en $\mathrm{Top}$ los canónica de mapas para el coequalizer son siempre surjective, este coequalizer no puede ser conservado por el olvidadizo functor.

Answer 2

No hay tal derecho adjoint existe, aunque restringido a los sobrio espacios. Por simplicidad tomemos $S=\operatorname{Spec} k$ para algunas campo $k$, y considerar el espacio $X$ tener dos puntos, uno de los cuales está cerrado. Si $G(X)$ existía, a continuación, asigna a $M\to G(X)$ sería en bijection con el cierre de subconjuntos de $M$. No es difícil mostrar ninguna de dichas $G(X)$ existe. Por ejemplo, tomando $M$ a las Especificaciones de los campos de la ampliación de $k$, se puede ver $G(X)$ sólo debe tener dos puntos, y, en particular, debe ser afín. Usted, a continuación, obtener un $k$-álgebra $A$ con un radical ideal $I$ tal que para cualquier $k$-álgebra $B$ con un radical ideal $J$, hay un único mapa $f:A\to B$ tal que $J$ es el radical ideal generado por $f(I)$. Claramente ninguna de dichas $(A,I)$ puede existir, ya que para cualquier cardenal $\kappa$ podemos encontrar una $(B,J)$ tal que $J$ no puede ser generado por menos de $\kappa$ elementos.