Variedades dominadas por productos de curvas

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva lisa irreducible de dimensión $d$ . ¿Existen curvas proyectivas lisas irreducibles $C_1, C_2,\ldots, C_d$ un subconjunto abierto $U\subset C_1\times C_2\times\ldots\times C_d$ y un morfismo dominante $f:U\to X$ .

Answer 1

Ulrich observa en los comentarios que C. Schoen proporciona contraejemplos en su artículo "Variedades dominadas por variedades de productos" . Más allá del trabajo de Schoen, este problema tiene una historia interesante, que aprendí de esta nota de Oort.

Grothendieck, al intentar demostrar las conjeturas de Weil, esperaba que toda variedad estuviera racionalmente dominada por un producto de curvas. Preguntó a Serre si esto era cierto; Serre demostró que una superficie suficientemente general contenida en una variedad abeliana explícita de dimensión $5$ es un contraejemplo. (Véase la página 145 del Correspondencia Grothendieck-Serre que es un libro realmente sorprendente). El contraejemplo es bastante bonito y muy sencillo, y de una naturaleza bastante diferente a la de Schoen.

Esencialmente, Serre observa que de $S\subset A$ es una superficie lisa que pasa por el origen y satisface la siguiente propiedad:

$(*)$ Si $C, C'$ son curvas contenidas en $S$ entonces $C+C'$ no está contenida en $S$

entonces $S$ no puede ser dominado racionalmente por un producto de curvas. Esto se debe a que el mapa racional debe extenderse a un morfismo (ya que es un mapa hacia una variedad abeliana) dado por la adición de dos mapas $C\to A, C'\to A$ . Así que basta con encontrar una superficie $S$ Satisfaciendo a $(*)$ . Serre lo hace escribiendo un germen analítico explícito en el origen que satisface $(*)$ (no es demasiado difícil) y luego aproximar este germen por una superficie honesta (que se puede tomar como una intersección completa, por ejemplo).

Oort señala que Schoen parece no haber sido consciente del contraejemplo de Serre.

Answer 2

Para otra familia de contraejemplos a la pregunta de Grothendieck se puede tomar cualquier cociente compacto de la bola unitaria de $\mathbb{C}^n$ (para $n\ge 2$ ). Al menos para un topólogo/geómetro es una familia de ejemplos muy natural.

Permítanme explicar esto: supongamos que tenemos un mapa holomórfico suryectivo $f : S_1 \times \cdots \times S_n\to X= B/\Gamma$ donde $\Gamma$ es una red cocompacta libre de torsión en ${\rm PU}(n,1)$ ( $n\ge 2$ ) y donde el $S_{j}$ son superficies compactas de Riemann. Derivaremos una contradicción.

A nivel de grupos fundamentales, $f_{\ast}$ tiene una imagen de índice finito ya que $f$ es sobreyectiva. Sustituyendo $\Gamma$ por un subgrupo de índice finito suponemos que $f_{\ast}$ es suryente.

Ahora tenemos el siguiente hecho:

El grupo $\Gamma$ no está generada por una familia de subgrupos normales, no triviales y conmutables entre sí $(H_i)_{1\le i \le N}$ si $N\ge 2$ .

Esto se puede ver fácilmente utilizando el hecho de que el cierre de Zariski de cada $H_i$ debe ser ${\rm PU}(n,1)$ .

Volviendo al morfismo $f : S_1 \times \cdots \times S_n \to X$ esto dice que (después de reordenar posiblemente los índices) $f_{\ast}(\pi_{1}(S_{j})$ es trivial para $j\ge 2$ .

Por lo tanto, para un $j\ge 2$ el mapa $z\mapsto f(p_{1}, \ldots , z, \ldots ,p_{n})$ de $S_{j}$ a $X$ induce el morfismo trivial sobre $\pi_{1}$ por lo que es constante (ya que no existe una superficie de Riemann compacta en la bola unitaria de $\mathbb{C}^{n}$ ).

Esto implica que $f$ factores a través de la proyección desde el producto de la $S_{j}$ 's en $S_{1}$ : $f=g\circ pr_{1}$ donde $pr_{1}$ es la primera proyección y $g : S_{1}\to X$ es holomorfo. Pero esto es imposible si $f$ es dominante.

No he pensado en si podemos impulsar este argumento para responder a la pregunta original (donde $f$ sólo está definida en un conjunto abierto del producto de la $S_{j}$ 's).