Homotopy teoría topológica pilas/orbifolds

Question

La motivación $\newcommand{\T}{\mathscr{T}}$

Tengo muchas veces encontré diciendo alguna variante de la siguiente. Deje $\T_g$ ser el espacio de Teichmüller de una superficie de género $g$, e $\Gamma_g$ su asignación de grupo de clase. El cociente $\T_g/\Gamma_g$ es el espacio de moduli de curvas de $M_g$. Es un profundo hecho de que $\T_g$ es en el hecho de diffeomorphic una pelota, lo que implica que $M_g$ es un modelo para la clasificación de espacio $B\Gamma_g$ de la asignación del grupo de clase. En particular, el cohomology de $M_g$ es sólo el grupo de cohomology de $\Gamma_g$.

...bueno, casi. Desde $\Gamma_g$ no actúa libremente, $M_g$ es en el hecho de no $B\Gamma_g$. Sin embargo, todos los estabilizadores son grupos finitos, y esto implica a través de una secuencia espectral argumento de que el racional cohomology de $M_g$ coincide con el racional cohomology de $\Gamma_g$.

La mayoría de los algebraica de los geómetras parecen ignorar estos problemas mediante el trabajo en su lugar con pilas o orbifolds. De hecho, la pila cociente $[\T_g/\Gamma_g]$ es el de los módulos de la pila de curvas de $\mathcal M_g$, que es, en cualquier caso, el más fundamental objeto de estudio.

Pregunta

Mi pregunta es si la topológico argumentos en los primeros dos párrafos puede llevarse a cabo de una manera más culta forma, el uso de orbifolds o topológico de las pilas. Soy vagamente consciente de que Noohi del trabajo en topológico de pilas incluye el establecimiento de un homotopy teoría topológica de las pilas, pero me sabe casi nada acerca de esto. Así que la pregunta debe ser interpretado como "¿existe un desarrollado homotopy teoría topológica pilas donde las siguientes preguntas pueden ser formuladas y contestadas".

Pregunta 1. Son dos cocientes $[E/G]$ e $[E'/G]$ donde $E$ e $E'$ son contráctiles espacios no necesariamente libre grupo de acción por $G$, homotopy equivalente como topológica pilas?

Mi segunda pregunta es más especulativa, ya sé menos aún sobre la racional homotopy teoría.

Pregunta 2. Deje $\mathcal X$ ser un topológico de la pila, con el grueso del espacio de moduli $X$. Suponga que toda la isotropía grupos de $\mathcal X$ son de torsión. Es $\mathcal X \to X$ racional homotopy equivalencia?

Answer 1

Aquí es una simple manera de hablar sobre la homotopy tipo de pila. Deje $\mathfrak{X}$ ser una pila y $f: U \to \mathfrak{X}$ un representable surjective inmersión (atlas) de un espacio de $U$ (por ejemplo, el mapa de la Teichmuller espacio para los módulos de la pila.) Ahora, de forma que el pullback de $f$ a lo largo de sí mismo: $U\times_{\mathfrak{X}} U$. Este viene con dos mapas a $U$ y hay una diagonal mapa de $U \to U\times_{\mathfrak{X}} U$. Todos juntos, estos mapas dan una topológico groupoid. El nervio de este topológico groupoid es un simplicial espacio y la geometría de la realización de que es un espacio que uno puede considerar como la representación de la homotopy tipo de la pila.

Aquí están algunos fácil/buenas propiedades de la anterior noción de homotopy tipo que son fáciles de comprobar.

1. Dado un espacio de $X$ con $G$ acción, el homotopy tipo de $[X/G]$ es el Borel construciton, también conocido como homotopy cociente, $EG \times_G X$. En particular, la respuesta a la Pregunta 1 es afirmativa, y la homotopy tipo de los módulos de la pila de curvas es exactamente $B\Gamma_g$.

2. Se puede definir singular y de Rham cohomology de una pila y estos invariantes coincide con la integral y racional cohomology de la homotopy tipo de la pila. De hecho, esta es casi una tautología, ya que, por ejemplo, el de Rham cohomology puede definirse teniendo una cubierta por un colector, formando a afirmar pullbacks (para producir un simplicial del colector), tomando la de Rham álgebra de este simplicial colector para obtener una cosimplicial dga, y luego tomar la totalización para obtener un dga.

3. Se sigue de la propiedad 1 más arriba, que la respuesta a su pregunta 2 es también afirmativa.

4. [Editar] Esta noción de homotopy tipo está bien definido ya que uno puede comprobar que las dos atlas determinar Morita equivalente topológico groupoids que luego se han débilmente equivalente nervios.

Si recuerdo correctamente, Noohi utiliza un poco más sofisticado noción de homotopy tipo. Él define universal débil equivalencia a ser representable de morfismos de un espacio de $U$ a una pila de $\mathfrak{X}$ de manera tal que el pullback a lo largo de los morfismos de un espacio a $\mathfrak{X}$ es un débil equivalencia. $U$ puede entonces ser considerado como el homotopy tipo de la pila. Creo que esto es más o menos equivalente a la versión ingenua he explicado anteriormente, pero tiene la ventaja de ser un poco más functorial y podría haber algunas otras ventajas técnicas no recuerdo. David Carchedi probablemente será capaz de dar más detalles.