Topológico Significado de semi-producto directo

Question

Sé que la amalgamado producto libre de dos grupos de $G\star_K H$ tiene un cierto sentido topológico. ¿Qué acerca de un semi-producto directo de $H \rtimes G$ ?

Answer 1

El texto de su pregunta es muy vaga, pero esperemos que la siguiente sugerencia al menos un poco en un ejemplo de cómo la semi-producto directo de los grupos fundamentales de los espacios topológicos pueden surgir de forma natural en común de las construcciones. Me disculpo de antemano si alguna de las siguientes definiciones no son conocidos. Todos ellos deben ser fáciles de buscar en la wikipedia.

Si usted no sabe nada acerca de los haces de fibras (o, más en general, de la familia de los mapas fibrations), a continuación, para decirlo de manera muy informal, un mapa de $p\colon E\rightarrow B$ es un haz de fibras si para todas las $b\in B$, la preimagen de un barrio de $U\ni b$ es homeomórficos para el producto de algún espacio de $F$$U$. Es decir, $p^{-1}(U)\cong F\times U$. Nos escriben a menudo que la secuencia de mapas de $F\rightarrow E\rightarrow B$ es un fibration secuencia con fibra de $F$ (el primer mapa de esta secuencia es sólo la inclusión de $F$$E$).

La definición apropiada pone algunas restricciones en el mapa $p$, pero la definición anterior es lo suficientemente bueno como para dar un sentido intuitivo de lo que haces de fibras 'parecer'. La parte importante que usted debe tomar distancia de la definición es que el espacio de $E$ puede ser visto como una especie de 'twisted producto" de los espacios de $F$$B$. Usted debe esperemos que ya sea capaz de ver un flojo paralelo entre los haces de fibras y semi-productos directos de grupos.

Una propiedad muy útil de los haces de fibras de las "buenas espacios' (hablando a groso modo, si todos los espacios involucrados son CW-complejos, entonces estamos bien) es que el homotopy grupos de la fibration secuencia de ajuste en una larga secuencia exacta. Ahora, supongamos que el espacio de $F$ está conectado y $\pi_2(B)=0$. Luego de esta larga secuencia exacta en la homotopy, podemos extraer la secuencia exacta corta $$\pi_2(B)=0\rightarrow\pi_1(F)\rightarrow\pi_1(E) \rightarrow\pi_1(B)\rightarrow 0=\pi_0(F)$$ and now it should be clear that if this short exact sequence splits, then the splitting lemma for non-ableian groups tells us that $\pi_1(E)\cong \pi_1(F)\rtimes \pi_1(B)$.

Las condiciones en el homotopy grupos de $B$$F$, y el requisito de que la breve secuencia exacta divisiones son más especializados. Así que, esto está lejos de ser universalmente útil de la construcción, pero esperamos que sea el tipo de vínculo fundamental entre los grupos y semi producto directo de los grupos que usted estaba buscando.

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A raíz de los comentarios de KotelKanim a continuación, las condiciones de la homotopy grupos de $B$ $F$ no son necesarios mientras el haz de fibras implicadas tiene una sección. Esto significa que no existe un mapa de $s\colon B\to E$ tal que $p\circ s=\mbox{Id}_B$.

Supongamos que el paquete de $p$ tiene una sección de $s$ y deje $\delta\colon\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)$ ser la conexión de homomorphism en el largo asociado de la secuencia exacta de homotopy grupos. Supongamos $\ker\delta\neq\pi_n(B)$. Luego por la exactitud en $\pi_n(B)$ tenemos $\mbox{Im}\, p_*\neq \pi_n(B)$, por lo que vamos a $h$ ser un elemento de $\pi_n(B)\setminus\mbox{Im}\, p_*$. Tenemos $h=\mbox{Id}_{\pi_n(B)}(h)=p_*(s_*(h))$, pero esto implica que $h\in\mbox{Im}\, p_*$ lo cual es una contradicción. De ello se desprende que $\ker\delta=\pi_n(B)$$\mbox{Im}\,\delta=0$.

Por lo tanto tenemos la aumentada largo de la secuencia exacta en homotopy $$\cdots \rightarrow \pi_{n+1}(B)\rightarrow 0\rightarrow\pi_n(F)\rightarrow\pi_n(E) \rightarrow\pi_n(B)\rightarrow 0 \rightarrow \pi_{n-1}(F) \rightarrow \cdots$$ because $\delta$ factors through $0$ and so we have a split short exact sequence for each $n$ which, by the splitting lemma, gives us the isomorphism $\pi_n(E) \cong \pi_n(F) \oplus \pi_n(B)$ for $n\geq 2$ (as higher homotopy groups are abelian) and for $n=1$ nos da la anterior semi-directa del producto.