Es Conway base-13 función medible?

Question

Robin Chapman me presentó a Conway Base 13 de la Función. Ahora, mi análisis real es un poco oxidado, así que tal vez mi pregunta tiene una muy simple y rápida respuesta, pero aquí va:

Considerar el apoyo conjunto de la base 13 de la función, es el conjunto de Lebesgue medible? Y si es así, ¿tienen distinto de cero de la medida?

Answer 1

Llame al apoyo conjunto de $S$. La respuesta es que sí es Lebesgue medible y no, no tiene medida cero. Incluso es Borel medible, que tendría un poco más de esfuerzo para probar.

Tenga en cuenta que $S$ está incluido en el conjunto de $T$ de los números en los que los "dígitos" '+','-', y '.' aparecen un número finito de veces en la "base de 13 de expansión". Pero casi todos los números son normales, por lo tanto tienen todos los dígitos que aparecen infinitamente a menudo. De modo que el conjunto de Borel $T$ tiene medida cero, por lo tanto $S$ es Lebesgue medible con medida cero.

Answer 2

La función es, sin duda Borel medible, y por lo tanto, por lo que su apoyo conjunto. La función de $f_k(x)$ que da el $k$th tredigit de $x$ es claramente un Borel función, y esto debería ser sencillo si tedioso ejercicio de escritura de la base 13 de la función en términos de la $f_k$, utilizando únicamente común Borel funciones (aritmética, max/min, indicadores) y los límites.

Por supuesto, el hecho de que no "no constructiva" son los argumentos utilizados en su definición, es una fuerte evidencia de que tal procedimiento debería ser posible, y si usted sabe lo suficiente de la lógica, como otros han mencionado, esto incluso puede ser una prueba. Yo sólo quería señalar que uno puede demostrar que la mensurabilidad de los primeros principios, con un poco de grasa del codo.

Answer 3

Parece que la definición de la función no usar el axioma de elección. Esto implica que el apoyo debe ser Lebesgue medibles.

Answer 4

La función se ve fácilmente para ser Borel, ya que la gráfica de la función puede ser definida usando sólo el número natural cuantificadores. En particular, un número está en el soporte, si y sólo si hay un lugar en su dígitos donde la $+$ o $-$, seguido finalmente por ., pero luego de este, +, - y . no vuelven a aparecer. Es decir,

• $x\in S\iff\exists n_1\exists n_2\gt n_1\forall m\geq n_1$ la $m^{\rm th}$ dígitos de $x$ en base 13 no es ni $+$ ni $-$ ni ., excepto en $n_1$, donde es $+$ o $-$ e e $n_2$, donde se .

Cualquier conjunto de los reales de los que es definible usando sólo el número natural cuantificación es Borel, ya que la cuantificación existencial sobre los naturales corresponde a una contables de la unión y cuantificación universal corresponde contables intersección. Tales conjuntos de la mentira en la aritmética de la jerarquía, lo cual es una de la parte más baja de la hyperarithmetic hiearchy, lo que conduce en última instancia a los conjuntos de Borel.

La misma idea se muestra que la gráfica de la función, como un conjunto de pares, es Borel.