¿La unión finita de conjuntos convexos cerrados es triangulable?

Question

He publicado esto pregunta en math.stackexchange.com pero no obtuve respuesta.

Dejemos que $A_1, \ldots, A_k \subseteq \mathbb{R}^n$ sean conjuntos convexos cerrados. ¿Es la unión $\bigcup_{i=1}^k A_i$ triangulable ¿es decir, homeomorfo a un complejo simplicial? Si es así, ¿por qué?

Esto parece plausible, pero difícil de probar. (¿Sería más fácil si exigimos que los conjuntos sean compactos?)

Answer 1

Esto no es cierto ni siquiera para las uniones de dos conjuntos convexos compactos.

Para construir un contraejemplo adecuado, consideremos el disco unitario $$D=\{z\in\mathbb C:|z|\le 1\}$$ en el plano complejo $\mathbb C$ . Por $\partial D:=\{z\in\mathbb C:|Z|=1\}$ denotamos el círculo límite del disco $D$ .

A continuación, elija una secuencia decreciente de números reales $(r_n)_{n\in\omega}$ tal que $\lim_{n\to\infty}r_n=\inf_{n\in\omega}r_n=1$ y los puntos $z_n=r_ne^{i\pi/2^n}$ no se ven detrás del disco, lo que significa que para cualquier número distinto $n,m$ el intervalo $[z_n,z_m]:=\{tz_n+(1-t)z_m:t\in[0,1]\}$ se cruza con el disco $D$ . Sea $C$ sea el casco convexo (cerrado) del conjunto compacto $D\cup\{z_n\}_{n\in\omega}$ . Es fácil ver que $C\setminus D$ tiene infinitas componentes conectadas (homeomórficas al triángulo con un lado eliminado).

Consideremos ahora los conjuntos convexos compactos $A_1=C\times\{0\}$ y $A_2=D\times[-1,1]$ en $\mathbb C\times\mathbb R\cong \mathbb R^3$ .

Se puede demostrar que la unión $A:=A_1\cup A_2$ no es homeomorfo a un complejo simplicial (ni siquiera a un complejo CW).

Suponiendo que $A$ es homeomorfo a un complejo CW, podemos utilizar la teorema de la invariabilidad del dominio para demostrar que el límite $$\partial A=((C\setminus D)\times\{0\})\cup (\partial D\times [-1,1])\cup (D\times\{-1,1\})$$ de $A$ en $\mathbb C\times\mathbb R$ está contenido en el 2-esqueleto del complejo CW. Utilizando el teorema de la invariabilidad del dominio una vez más, se puede demostrar que $\partial C\cup\partial D$ está contenido en el esqueleto 1 del complejo CW y, por tanto, es homeomorfo a un grafo finito, lo que no es cierto.

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Conclusión.

1. La unión de un número finito de conjuntos convexos en $\mathbb R$ es homeomorfo a un complejo simplicial.

2. Para $n\ge 3$ la unión de dos conjuntos convexos compactos en $\mathbb R^n$ puede ser no homomorfo a un complejo CW.

El problema. ¿Cuál es la situación en la dimensión 2? ¿Es la unión de un número finito de conjuntos convexos compactos en el plano homeomorfa a un complejo simplicial?