"Naturalmente" no-espacios de Hausdorff?

Question

No es difícil para un punto de inicio-establecer la topología de estudiante para cocinar un ejemplo de un no-espacio de Hausdorff; tal vez el ejemplo más sencillo es el de la línea con dos orígenes. Es imposible separar los dos orígenes distintos bloques abiertos.

También es fácil para un comienzo de geometría algebraica estudiante para dar una menos artificial ejemplo de un no-espacio de Hausdorff: la topología de Zariski en afín $n$-más de espacio que en un infinito campo de $k$, $\mathbf{A}_{k}^{n}$, no es Hausdorff, debido al hecho de que los polinomios son determinados por su comportamiento local. Abrir conjuntos de aquí son en realidad densa.

Estoy interesado en los ejemplos de la última forma. La topología de Zariski en $\mathbf{A}_{k}^{n}$ existe como una herramienta en su propio derecho, y pasa a ser no-Hausdorff. Hasta donde yo soy consciente, de la línea con dos orígenes no sirven a este propósito. ¿Cuáles son algunos de los no-Hausdorff espacios topológicos que no son meramente patológico curiosidades?

Answer 1

La línea digital es un no-espacio de Hausdorff importante en los gráficos. El conjunto subyacente de puntos es sólo $\mathbb{Z}$. Damos este de la topología digital mediante la especificación de una base para la topología. Si $n$ es impar, dejamos $\{n\}$ siendo un conjunto abierto. Si $n$ es incluso, dejamos $\{n-1,n,n+1\}$ ser abierto básicos. Estos básica abrir conjuntos de dar una topología en $\mathbb{Z}$, el espacio resultante es la "línea digital." La idea es que los enteros impares $n$ dar $\{n\}$ el estado de un píxel, mientras que el aun $n$ codificar $\{n-1,n,n+1\}$ como pixel-límite-píxel. Por lo tanto, esto es una especie de versión pixelada de la línea real.

En cualquier caso, esto le da una topología en $\mathbb{Z}$ que es $T_0$ pero no $T_1$ (y por lo tanto no Hausdorff). Que no es Hausdorff es clara, ya que no hay manera de separar el $2$ de $3$. También tiene un montón de otras interesantes propiedades, tales como ruta de acceso conectado, Alexandrov, y ha homotopy y isometría similitudes con el ordinario de la línea real.

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Referencias añadido:

R. Kopperman T. Y. Kong y P. R. Meyer, topológico, de acercamiento a la topología, Matemática Americana Mensual 98 (1991), no. 10, 901-917.

Una edición especial de la topología digital. Editado por T. Y. Kong, R. Kopperman y P. R. Meyer. Topología De Appl. 46 (1992), no. 3. Elsevier Science B. V., Amsterdam, 1992. pp. i–ii y 173-303.

Colin Adams y Robert Franzosa, Introducción a la topología: Pura y aplicada, Pearson Prentice Hall, 2008.

Answer 2

En ciencias de la computación, más específicamente en los lenguajes de programación teoría, es común para describir el comportamiento de los programas de ordenador utilizando Scott-funciones continuas, es decir, funciones continuas entre dos espacios topológicos tener el Scott de la topología. Grosso modo, estos son parcialmente ordenado establece que los conjuntos de superior sets (si un punto está en el conjunto, todos los grandes puntos debe ser así) que son inaccesibles dirigida suprema (el supremum de puntos fuera del conjunto abierto también debe estar fuera). Equivalentemente: conjuntos cerrados son inferiores a los conjuntos cerrados bajo dirigida suprema.

Esta topología es en general, no es Hausdorff, ya que si $x < y$ cualquier conjunto abierto incluyendo $x$ también debe contener $y$. Más precisamente, es Hausdorff si el orden es trivial.

El Scott topología es una herramienta muy importante para proporcionar un riguroso sentido a los programas que pueden no terminar, ya sea porque se puede quedar atrapado en un bucle infinito o en una cadena infinita de llamadas recursivas. El significado de este programa de construcciones que normalmente se define la explotación de la Kleene teorema de punto fijo para resolver el "recursiva ecuaciones" que surgen de la auto-referente (recursivo) del programa.

Answer 3

Cualquier seminormed espacio que no es normativa no es Hausdorff. Por ejemplo, el espacio de funciones de $\mathscr{L}^1([0,1])$ con el seminorm (es decir, Lebesgue integrable funciones, no de clases de equivalencia de funciones). Pesar de que a menudo dificulta la distinción entre $L^1$ e $\mathscr{L}^1$, hay veces que esto es importante.

Answer 4

Una clase de la que surge naturalmente de los ejemplos es la clase de los espacios cociente. Por ejemplo, suponga que tiene una acción de un grupo de $G$ sobre un espacio topológico $X$, y de dar el cociente del espacio de $X/G$ de $G$de las órbitas en $X$ el cociente de la topología (en el que un subconjunto es abierto si y sólo si su pre-imagen es abierto).

Dos puntos de $Gx, Gy \in X/G$ pueden ser separados por bloques abiertos sólo si no son disjuntas abrir conjuntos de $U$ e $V$ de $X$ la separación de las órbitas $Gx$ e $Gy$. Así, por ejemplo, si se considera el $\mathbf{C}^\times$-acción en un número finito de dimensiones complejas espacio vectorial $V$, las órbitas son de dos tipos: el primero, el único, cerrado de la órbita, que es un punto único consistente en el origen, y la segunda, el conjunto de no-cero puntos en cada línea que pasa por el origen. Las órbitas de los del segundo tipo pueden ser separados uno de otro por la apertura de los juegos (lo que explica por qué el complejo proyectiva del espacio con este clásico de la topología es Hausdorff), pero ninguno de ellos está separado desde el origen por un conjunto abierto. Por lo tanto el cociente espacio no es Hausdorff (geométricas invariantes de la teoría es, en parte, de que se trate con la fijación de este problema; c.f. la respuesta de Tabes Puentes para el esquema de la teoría de la versión de este).

Answer 5

Este es un pequeño ejemplo, pero el Sierpiński espacio no es Hausdorff. Explícitamente, es el espacio de $\Sigma := \{0,1\}$ donde el abrir conjuntos de $\varnothing, \{1\}, \{0,1\}$. Lo que hace es (ligeramente) más que una patología es que se trata de la representación de objeto de la functor $\operatorname{Op}:\mathbf{Top}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ el envío de un espacio topológico $X$ a su conjunto de abre, y un mapa continuo $f:X\to Y$ a la preimagen de mapa de $f^{-1}:\operatorname{Op}(Y)\to\operatorname{Op}(X)$; en otras palabras, los bloques abiertos de un espacio topológico $X$ son naturalmente identificable con el continuo mapas de $X\to\Sigma$, la identificación de enviar un mapa de $f:X\to\Sigma$ para el conjunto abierto $f^{-1}(1)$.

Dicho esto, mi ejemplo es, posiblemente, también es sólo un caso especial de Alekos' respuesta desde $\Sigma=\operatorname{Spec}R$ para $R$ discreta valoración anillo, pero me gusta por su rotundidad en la encarnación.