¿Cuáles son los posibles números de Stiefel-Whitney de una variedad de cinco?

Question

En un cinco colector compacto, el número de Stiefel-Whitney$w_2w_3$ puede ser distinto de cero. Un ejemplo es la variedad$SU(3)/SO(3)$, y también otro ejemplo es un paquete$\mathbb{CP}^2$ sobre un círculo donde la holonomía viene dada por el automorfismo de conjugación compleja de$\mathbb{CP}^2$.

Mi pregunta es si el número de Stiefel-Whitney$w_1^2w_3$ puede ser distinto de cero en una variedad compacta de cinco. No he encontrado una prueba simple de que sea cero ni un ejemplo simple en el que sea distinto de cero.